Potenzenvergleich/Rational dazwischen/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}x_{n}$ eine rationale echt fallende Folge (bei ${}a\geq 1$; bei ${}a<1$ wählen wir eine rationale echt wachsende positive Folge), die gegen ${}x$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion zur Basis ${}a$ konvergiert auch ${}a^{x_{n}}$ gegen ${}a^{x}$. In jedem Fall ist dies eine (bei ${}a\neq 1$) echt fallende Folge. Wegen der Konvergenz gibt es ein rationales ${}z=x_{n}$ mit

${}a^{x}\leq a^{z}<b^{y}\,.$

Die Funktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,a\longmapsto a^{z},$

ist als Hintereinanderschaltung einer Potenz und einer Wurzel nach Fakt und Fakt ebenfalls stetig. Somit gilt für eine rationale Folge ${}a_{n}$, die gegen ${}a$ konvergiert, dass auch ${}a_{n}^{z}$ gegen ${}a^{z}$ konvergiert. Wir wählen die Folge ${}a_{n}$ echt fallend, sodass auch ${}a_{n}^{z}$ echt fallend ist. Für ${}n$ hinreichend groß ist dann

${}a^{x}\leq a^{z}<a_{n}^{z}<b^{y}\,,$

und wir können ${}c=a_{n}$

wählen.

Zur gelösten Aufgabe