Potenzenvergleich/Rational dazwischen/Aufgabe/Lösung

Es sei $x_n$ eine rationale echt fallende Folge (bei $a\ge 1$; bei $a<1$ wählen wir eine rationale echt wachsende positive Folge), die gegen $x$ konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion zur Basis $a$ konvergiert auch $a^{x_n}$ gegen $a^x$. In jedem Fall ist dies eine (bei  $a\ne 1$ ) echt fallende Folge. Wegen der Konvergenz gibt es ein rationales $z=x_n$ mit

$a^x\le a^z<b^y.$

Die Funktion

${ℝ}_{\ge 0}⟶ℝ,a⟼a^z,$

ist als Hintereinanderschaltung einer Potenz und einer Wurzel nach Fakt und Fakt ebenfalls stetig. Somit gilt für eine rationale Folge $a_n$, die gegen $a$ konvergiert, dass auch $a_n^z$ gegen $a^z$ konvergiert. Wir wählen die Folge $a_n$ echt fallend, sodass auch $a_n^z$ echt fallend ist. Für $n$ hinreichend groß ist dann

$a^x\le a^z<a_n^z<b^y,$

und wir können  $c=a_n$ 

wählen.

Zur gelösten Aufgabe