Potenzenvergleich/Rational dazwischen/Aufgabe/Lösung

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Es sei eine rationale echt fallende Folge (bei ; bei wählen wir eine rationale echt wachsende positive Folge), die gegen konvergiert. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion zur Basis konvergiert auch gegen . In jedem Fall ist dies eine (bei ) echt fallende Folge. Wegen der Konvergenz gibt es ein rationales mit

Die Funktion

ist als Hintereinanderschaltung einer Potenz und einer Wurzel nach Fakt und Fakt ebenfalls stetig. Somit gilt für eine rationale Folge , die gegen konvergiert, dass auch gegen konvergiert. Wir wählen die Folge echt fallend, so dass auch echt fallend ist. Für hinreichend groß ist dann

und wir können

wählen.
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