Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Für $n$ ungerade ist

die Potenzfunktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼x^n,$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼x^{1/n},$

ist streng wachsend und stetig.

Für $n$ gerade ist die Potenzfunktion

${ℝ}_{\ge 0}⟶{ℝ}_{\ge 0},x⟼x^n,$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

${ℝ}_{\ge 0}⟶{ℝ}_{\ge 0},x⟼x^{1/n},$

ist streng wachsend und stetig.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen