Potenzierung/Beidseitig/Ableitungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

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  1. Es ist

    und

    Somit ist die Jacobi-Matrix gleich

  2. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

    Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist die Determinante genau dann gleich , wenn

    ist. Dies ist genau bei

    und

    bzw.

    der Fall. Dies charakterisiert die kritischen Punkte, die Punkte mit oder

    sind regulär.

  3. Wir betrachten die Einschränkung von auf die durch

    gegebene Gerade. Die beiden Komponentenfunktionen haben darauf die Form

    Die Ableitung davon ist

    mit einer Nullstelle an

    Wegen

    liegt dort ein isoliertes Minimum von vor. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher

    mit

    Daher haben und unter den gleichen Wert und die Abbildung ist nicht injektiv.

  4. Die Abbildung ist nicht surjektiv. Wir zeigen, dass Elemente der Form

    mit hinreichend klein nicht zum Bild gehören. Die Bedingung (der zweiten Komponente)

    führt auf

    und damit auf

    und somit ergibt sich (aus der ersten Komponente) die Bedingung

    Da nach Aufgabe nach unten beschränkt ist, ist auch nach unten beschränkt, und für

    unterhalb dieser Schranke gibt es kein Urbild.