Potenzierung/Beidseitig/Ableitungseigenschaften/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x^{y},\,y^{x}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem beliebigen Punkt ${}\left(x,\,y\right)$
2. Bestimme die Punkte ${}\left(x,\,y\right)$, für die ${}\varphi$ regulär ist.
3. Ist ${}\varphi$ injektiv?
4. Ist ${}\varphi$ surjektiv? Tipp: Die Funktion ${}e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x$ ist nach unten beschränkt.

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