Potenzreihe/Teilmenge von N/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Wir müssen zeigen, dass die Reihe für jedes ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}\vert {z}\vert <r$, absolut konvergiert. Es ist

${}\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {b_{n}z^{n}}\vert =\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {b_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}\,.$

Für die Reihenglieder gilt

${}\vert {b_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}\leq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}\,.$

Da die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}$ nach Voraussetzung konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor, so dass auch die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} }b_{n}z^{n}$

absolut konvergiert.

Zur gelösten Aufgabe