Potenzreihe für ebene Kurven/Kartesisches Blatt/Graph/Beispiel

Wir betrachten das Kartesische Blatt, das durch ${}X^{3}+Y^{3}-3XY=0$ gegeben ist, im Nullpunkt und bezüglich der durch ${}Y=0$ gegebenen Tangente und wollen die Potenzreihe bestimmen, mit der sich der „Zweig“ der Kurve, der diese Tangente definiert, als Graph beschreiben lässt. Wir setzen also ${}X=T$ und ${}H=b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+b_{4}T^{4}+\ldots$ an und haben diese Koeffizienten zu bestimmen (die Charakteristik von ${}K$ sei nicht ${}3$). Die Koeffizienten ${}b_{\ell }$ sind durch die Bedingung

${}{\begin{aligned}0&=T^{3}+H^{3}-3TH\\&=T^{3}+(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )^{3}-3T(b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots )\end{aligned}}$

festgelegt. Das Einsetzen bzw. Ausmultiplizieren dieser Potenzreihe liefert zum ersten Mal für ${}k=3$ eine Bedingung. Der Summand ${}X^{3}$ (bzw. ${}T^{3}$) muss überhaupt nur einmal berücksichtigt werden, nämlich für ${}k=3$. Der Summand ${}Y^{3}$ muss erst ab ${}k\geq 6$ berücksichtigt werden, da ja ${}Y=H$ ein Vielfaches von ${}T^{2}$ ist. Der Summand ${}XY$ muss ab ${}k=3$ berücksichtigt werden.

${}b_{2}$. Hier hat man die Bedingung

${}1-3b_{2}=0\,,$

woraus sich ${}b_{2}={\frac {1}{3}}$ ergibt.

${}b_{3}$. Dies taucht erstmals in der Bedingung für den vierten Koeffizienten auf. Dort steht es aber isoliert, sodass ${}b_{3}=0$ sein muss.

${}b_{4}$. Aus dem gleichen Grund ist ${}b_{4}=0$.

${}b_{5}$. Hierfür ist der sechste Koeffizient entscheidend, und dabei ist jetzt auch ${}Y^{3}$ zu berücksichtigen. Es ergibt sich die Bedingung

${}b_{2}^{3}-3b_{5}=0\,,$

also ${}b_{5}={\frac {1}{81}}$.

${}b_{6},b_{7},b_{8}$. Der Summand

${}Y^{3}={\left(b_{2}T^{2}+b_{5}T^{5}+\ldots \right)}{\left(b_{2}T^{2}+b_{5}T^{5}+\ldots \right)}{\left(b_{2}T^{2}+b_{5}T^{5}+\ldots \right)}\,$

leistet erstmals wieder für den neunten Koeffizienten einen Beitrag, und zwar ist dieser ${}3b_{2}^{2}b_{5}$. Dies bedeutet, dass ${}b_{6}$ und ${}b_{7}$ isoliert stehen und daher null sein müssen. Für ${}b_{8}$ ergibt sich die Bedingung

${}3b_{2}^{2}b_{5}-3b_{8}=0\,$

und daher ist ${}b_{8}={\frac {1}{729}}$.

Die Anfangsglieder der Potenzreihe ${}H$, die den einen Kurvenzweig im Nullpunkt als Graph beschreibt, ist also

${}H={\frac {1}{3}}T^{2}+{\frac {1}{81}}T^{5}+{\frac {1}{729}}T^{8}+\ldots \,.$