Potenzreihe für ebene Kurven/Kartesisches Blatt/Graph/Beispiel

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Wir betrachten das Kartesische Blatt, das durch gegeben ist, im Nullpunkt und bezüglich der durch gegebenen Tangente und wollen die Potenzreihe bestimmen, mit der sich der „Zweig“ der Kurve, der diese Tangente definiert, als Graph beschreiben lässt. Wir setzen also und an und haben diese Koeffizienten zu bestimmen (die Charakteristik von sei nicht ). Die Koeffizienten sind durch die Bedingung

festgelegt. Das Einsetzen bzw. Ausmultiplizieren dieser Potenzreihe liefert zum ersten Mal für eine Bedingung. Der Summand (bzw. ) muss überhaupt nur einmal berücksichtigt werden, nämlich für . Der Summand muss erst ab berücksichtigt werden, da ja ein Vielfaches von ist. Der Summand muss ab berücksichtigt werden.

. Hier hat man die Bedingung

woraus sich ergibt.

. Dies taucht erstmals in der Bedingung für den vierten Koeffizienten auf. Dort steht es aber isoliert, so dass sein muss.

. Aus dem gleichen Grund ist .

. Hierfür ist der sechste Koeffizient entscheidend, und dabei ist jetzt auch zu berücksichtigen. Es ergibt sich die Bedingung

also .

. Der Summand

leistet erstmals wieder für den neunten Koeffizienten einen Beitrag, und zwar ist dieser . Dies bedeutet, dass und isoliert stehen und daher null sein müssen. Für ergibt sich die Bedingung

und daher ist .

Die Anfangsglieder der Potenzreihe , die den einen Kurvenzweig im Nullpunkt als Graph beschreibt, ist also