Beweis
Die für die Komplettierung relevanten
Restklassenringe
sind
-
![{\displaystyle {}R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{k}=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(T_{1},\ldots ,T_{n})^{k}\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <k\right\}}RT^{\nu }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bcb08339fcacffa182ba409790ea694837d3eab)
Insbesondere handelt es sich um
-freie Moduln.
Bei den Restklassenhomomorphismen zu verschiedenen Potenzen
-
![{\displaystyle R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{\ell }\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <\ell \right\}}RT^{\nu }\longrightarrow R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}^{k}\cong \bigoplus _{\left\{\nu \mid \vert {\nu }\vert <k\right\}}RT^{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbca039aaa10d76ece64bd5ad64a8f02c337133b)
werden einfach die Monome vom Grad 
zu 
gemacht und die 
auf sich selbst abgebildet. Somit ist eine Potenzreihe das gleiche wie eine kompatible Folge in dieses Restklassenringen.
