Potenzsummenformel/Bernoulli-Zahlen/Textabschnitt

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Satz  

Es sei .

Die Summe der ersten natürlichen -ten Potenzen ist

wobei die die Bernoulli-Zahlen sind.

Insbesondere handelt es sich um ein Polynom vom Grad in .

Beweis  

Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe haben wir die funktionale Identität

wobei die beiden Faktoren rechts Potenzreihen sind. Wir bestimmen den Wert der -te Ableitung dieser Funktion an der Stelle auf zwei verschiedene Arten. Einerseits ist die -te Ableitung von gleich mit dem Wert an der Stelle . Die Summe dieser Terme für

ist also der Ausdruck, für den wir die Formel beweisen möchten. Andererseits ist die -Ableitung nach Aufgabe gleich

Die Werte an der Stelle der Ableitungen der Faktoren lassen sich direkt aus den Potenzreihen ablesen. Rechts sind das die . Links steht

und die -te Ableitung davon ausgewertet an ist

Somit ist



Beispiel  

Wir werten Fakt für kleine Exponenten unter Verwendung der Bernoulli-Zahlen aus. Für liefert die Formel

was die Formel von Gauß für die Summe der ersten Zahlen ist, siehe Aufgabe. Für liefert die Formel

vergleiche auch Aufgabe. Für liefert die Formel

vergleiche auch Aufgabe.