Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Endlich viele Klassen/Trennende Ausdrücke/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}M_{1},\ldots ,M_{k}$ die Äquivalenzklassen der elementaren Äquivalenzrelation und sei ${}m_{i}\in M_{i}$ ein fest gewählter Repräsentant. Wir zeigen, dass es für ${}M_{1}$ einen solchen charakterisierenden Ausdruck gibt. Zu jedem ${}i=2,\ldots ,k$ gibt es einen Ausdruck ${}\beta _{i}$ in der freien Variablen ${}x$ mit ${}I{\frac {m_{1}}{x}}\vDash \beta _{i}$, aber ${}I{\frac {m_{i}}{x}}\not \vDash \beta _{i}$, da ja ${}m_{1}$ und ${}m_{i}$ nicht elementar äquivalent sind. Wir können annehmen, dass die relevante Variable in jedem dieser Ausdrücke die gleiche ist. Der konjugierte Ausdruck

${}\alpha _{1}=\beta _{2}\wedge \ldots \wedge \beta _{k}\,$

ist in einer Interpretation (zur ${}S$-Struktur ${}M$) genau dann wahr, wenn die Variable ${}x$ durch ein Element aus ${}M_{1}$ belegt wird.

Zur bewiesenen Aussage