Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Endlich viele Klassen/Trennende Ausdrücke/Fakt/Beweis

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Beweis

Es seien die Äquivalenzklassen der elementaren Äquivalenzrelation und sei ein fest gewählter Repräsentant. Wir zeigen, dass es für einen solchen charakterisierenden Ausdruck gibt. Zu jedem gibt es einen Ausdruck in der freien Variablen mit , aber , da ja und nicht elementar äquivalent sind. Wir können annehmen, dass die relevante Variable in jedem dieser Ausdrücke die gleiche ist. Der konjugierte Ausdruck

ist in einer Interpretation (zur -Struktur ) genau dann wahr, wenn die Variable durch ein Element aus belegt wird.