Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Endlich viele Klassen/Trennende Ausdrücke/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $M$ eine $S$-Struktur mit der Eigenschaft, dass es in $M$ nur endlich viele Klassen zur elementaren Äquivalenz gibt.

Dann gibt es zu jeder Äquivalenzklasse  $[m]\subseteq M$  einen $S$-Ausdruck ${\alpha }_{[m]}$ in einer freien Variablen $x$, der die Klasse $[m]$ beschreibt, für den also

$n\in [m]\text{ genau dann, wenn }I\frac{n}{x}\models {\alpha }_{[m]}$

gilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen