Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Trennende Ausdrücke/Relationen und Funktionen wohldefiniert/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $M$ eine $S$-Struktur. Für jede elementare Äquivalenzklasse  $[m]\subseteq M$  gebe es einen $S$-Ausdruck ${\alpha }_{[m]}$ in einer freien Variablen $x$, der die Klasse $[m]$ beschreibt, für den also

$n\in [m]\text{ genau dann, wenn }I\frac{n}{x}\models {\alpha }_{[m]}$

gilt.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für jedes $k$-stellige Relationssymbol $R$ ist $R^M$ auf den Äquivalenzklassen wohldefiniert.
2. Für jedes $k$-stellige Funktionssymbol $f$ ist $f^M$ auf den Äquivalenzklassen wohldefiniert (und zwar in dem Sinn, dass aus $m_1\sim {m_1}^{\prime },\dots ,m_k\sim {m_k}^{\prime }$ die elementare Äquivalenz  $f^M(m_1,\dots ,m_k)\sim f^M(m{\text{'}}_1,\dots ,m{\text{'}}_k)$  folgt).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen