Prädikatenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Folgerungen/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Wegen der Widerspruchsfreiheit kann nicht sowohl $\alpha$ als auch $\mathrm{\neg }\alpha$ zu $\Gamma$ gehören. Wenn weder $\alpha$ noch $\mathrm{\neg }\alpha$ zu $\Gamma$ gehören, so ist entweder $\Gamma \cup \{\alpha \}$ oder $\Gamma \cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}$ widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck $\beta$ sowohl

$\Gamma \cup \{\alpha \}⊢\beta$

als auch

$\Gamma \cup \{\mathrm{\neg }\alpha \}⊢\beta$

gelten. Dies bedeutet

$\Gamma ⊢\alpha \to \beta$

und

$\Gamma ⊢\mathrm{\neg }\alpha \to \beta ,$

woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel

$\Gamma ⊢\beta$

folgt. Dies bedeutet aber, dass $\Gamma$ widersprüchlich ist.
(2). Es sei $\Gamma ⊢\alpha$. Nach (1) ist  $\alpha \in \Gamma$  oder  $\mathrm{\neg }\alpha \in \Gamma$.  Das zweite kann nicht sein, da sich daraus sofort ein Widerspruch ergeben würde. Also ist  $\alpha \in \Gamma$. 
(3). Die Richtung von links nach rechts folgt aus (2). Es seien also  $\alpha ,\beta \in \Gamma$.  Da $\alpha \to (\beta \to \alpha \wedge \beta )$ nach Aufgabe eine Tautologie ist, folgt  $\alpha \wedge \beta \in \Gamma$  nach Teil (2).

Zur bewiesenen Aussage