Prädikatenlogik/Mehrstellige Abbildungen/Kurzzusammenfassung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

Definition

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Für uns ist insbesondere das ${}n$-fache Produkt einer Menge ${}M$ mit sich selbst, also

${}M^{n}=M\times M\times \cdots \times M\,$

(mit ${}n$ Faktoren) wichtig.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge. Unter einer ${}n$-stelligen Abbildung auf ${}M$ versteht man eine Abbildung

$f\colon M\times \cdots \times M\longrightarrow M,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$

vom ${}n$-fachen Produkt von ${}M$ mit sich selbst nach ${}M$.

Definition

Unter einer ${}n$-stelligen Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ versteht man eine Teilmenge der ${}n$-fachen Produktmenge ${}M\times \cdots \times M$.

Eine ${}n$-stellige Funktion kann auch als eine ${}(n+1)$-stellige Relation aufgefasst werden, bei der es zu jedem ${}n$-Tupel ${}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ genau ein ${}x_{n+1}$ derart gibt, dass ${}(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})$ zur Relation gehört. Dieses ${}x_{n+1}$ ist dann der Funktionswert der zugehörigen Funktion an der Stelle ${}(x_{1},\ldots ,x_{n})$.