Prädikatenlogik/Modellbeziehung/Angeordneter Körper/Beispiel

Es sei ${}S$ das Symbolalphabet für einen angeordneten Körper, d.h. es gebe eine zweielementige Konstantenmenge ${}K=\{0,1\}$, eine zweielementige Menge für die zweistelligen Funktionssymbole ${}\{+,\cdot \}$ und eine einelementige Menge ${}\{\geq \}$ für ein zweistelliges Relationssymbol. Wir betrachten die Interpretation ${}I_{1}$ mit der Grundmenge ${}\mathbb {Q}$ und die Interpretation ${}I_{2}$ mit der Grundmenge ${}\mathbb {R}$, wobei Konstanten, Funktionssymbole und das Relationssymbol in natürlicher Weise interpretiert werden (und die Variablenbelegung irgendwie festgelegt sei).

Der ${}S$-Ausdruck ${}1+1\geq 1$ (also der Ausdruck $\geq +111$ in vorgestellter Notation) wird unter den Interpretationen als ${}1_{\mathbb {Q} }+1_{\mathbb {Q} }\geq 1_{\mathbb {Q} }$ bzw. als ${}1_{\mathbb {R} }+1_{\mathbb {R} }\geq 1_{\mathbb {R} }$ interpretiert und daher gelten ${}I_{1}\vDash 1+1\geq 1$ und ${}I_{2}\vDash 1+1\geq 1$. Dagegen ist der Ausdruck ${}\forall x(x\geq 0\rightarrow \exists y(x=y\cdot y))$ unter ${}I_{1}$ falsch und unter ${}I_{2}$ richtig, also

$I_{1}\vDash \neg (\forall x(x\geq 0\rightarrow \exists y(x=y\cdot y)))\,\,{\text{ und }}\,\,I_{2}\vDash \forall x(x\geq 0\rightarrow \exists y(x=y\cdot y)).$