Prägarbe/Homomorphismus/Halm/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}s\in {\mathcal {F}}_{P}$. Das bedeutet, dass es eine offene Umgebung ${}U$, ${}P\in U\subseteq X$, und ein ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}\rho _{U,P}(s)=s_{P}$ gibt. Wir setzen

${}\varphi _{P}(s):=\rho _{U,P}(\varphi _{U}(s))\,$

an und müssen zeigen, dass dies wohldefiniert, also unabhängig vom gewählten Repräsentanten ${}s$ (und ${}U$) ist. Sei ${}t\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}$ ein weiterer Repräsentant. Wegen ${}s_{P}=t_{P}$ gibt es eine offene Umgebung

${}P\in W\subseteq U\cap V\,$

mit ${}s{|}_{W}=t{|}_{W}$. Somit ist

${}\varphi _{U}(s){|}_{W}=\varphi _{W}{\left(s{|}_{W}\right)}=\varphi _{W}{\left(t{|}_{W}\right)}=\varphi _{V}(t){|}_{W}\,$

und somit ist erst recht

${}\rho _{U,P}(\varphi _{U}(s))=\rho _{V,P}(\varphi _{V}(t))\,.$

Zur bewiesenen Aussage