Prämaß/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ist in der Definition von Prämaß enthalten, da die leere Summe als ${}0$ definiert ist.
(2) folgt direkt aus der Definition, da ${}T$ die disjunkte Vereinigung aus ${}S$ und ${}T\setminus S$ ist.
(3) folgt daraus, dass ${}S\cup T$ die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen ${}S\setminus T,\,T\setminus S$ und ${}S\cap T$ ist.
(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben ${}S_{n}=T_{n}\setminus {\left(\bigcup _{i=0}^{n-1}T_{i}\right)}$ . Dann gilt offensichtlich ${}\bigcup _{i=0}^{n}T_{i}=\bigcup _{i=0}^{n}S_{i}$ für alle ${}n$ , wobei die Vereinigungen der ${}S_{i}$ jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt

{}{\begin{aligned}\mu (T)&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(T\cap {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}\right)}\right)}\\&=\mu {\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }T\cap S_{n}\right)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T\cap S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(S_{n}\right)}\\&\leq \sum _{n=0}^{\infty }\mu {\left(T_{n}\right)}.\end{aligned}}

(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen ${}T_{n}$ als disjunkte Vereinigung mittels ${}S_{0}=T_{0}$ und ${}S_{n}=T_{n}\setminus T_{n-1}$ . Damit ist

{}T_{n}=S_{0}\cup S_{1}\cup \ldots \cup S_{n}\,,

und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt ${}\mu (T_{n})=\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})$ . Entsprechend gilt

{}T=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\,

und daher

{}\mu (T)=\mu {\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}=\sum _{i=0}^{\infty }\mu (S_{i})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(\sum _{i=0}^{n}\mu (S_{i})\right)}=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu {\left(T_{n}\right)}\,.

(6) Wir setzen ${}S_{0}=T_{0}\setminus T_{n}$ . Da ${}T_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine absteigende Folge ist, ist ${}S_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine aufsteigende Folge, und zwar gilt