Prämaß/Rechenregeln/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) ist in der Definition von Prämaß enthalten, da die leere Summe als definiert ist.
(2) folgt direkt aus der Definition, da die disjunkte Vereinigung aus und ist.
(3) folgt daraus, dass die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen und ist.
(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben . Dann gilt offensichtlich für alle , wobei die Vereinigungen der jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt


(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen als disjunkte Vereinigung mittels und . Damit ist

und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt . Entsprechend gilt

und daher


(6) Wir setzen . Da , , eine absteigende Folge ist, ist , , eine aufsteigende Folge, und zwar gilt

Daher gilt

nach Teil (5). Somit ist (da ist)


Zur bewiesenen Aussage