Prämaß/Rechenregeln/Fakt

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und ${}\mu$ ein Prämaß auf ${}{\mathcal {P}}$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist  ${}\mu (\emptyset )=0$. 
2. Für Mengen  ${}S,T\in {\mathcal {P}}$  mit  ${}S\subseteq T$  gilt  ${}\mu (T)=\mu (S)+\mu (T\setminus S)$.  Insbesondere ist ein Prämaß monoton.
3. Für Mengen  ${}S,T\in {\mathcal {P}}$  gilt  ${}\mu (T\cup S)=\mu (S)+\mu (T)-\mu (S\cap T)$. 
4. Seien ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, und ${}T$ aus ${}{\mathcal {P}}$ mit  ${}T\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }T_{n}$  Dann gilt

   ${}\mu (T)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (T_{n})\,.$

5. Es sei ${}T_{n}\uparrow T$ eine Ausschöpfung in ${}{\mathcal {P}}$. Dann ist

   ${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$

   wobei diese Folge monoton wachsend ist.

6. Es sei ${}T_{n}\downarrow T$ eine Schrumpfung in ${}{\mathcal {P}}$ und sei  ${}\mu (T_{0})<\infty$  vorausgesetzt. Dann ist

   ${}\mu (T)=\lim _{n\rightarrow \infty }\mu (T_{n})\,,$

   wobei diese Folge monoton fallend ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen