Primzahlen/Funktion/Untergruppe von Q/Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }$ die Menge der Primzahlen und

$\alpha \colon {\mathbb {P} }\longrightarrow \mathbb {Z}$

eine Abbildung. Zeige, dass die Menge

${}G_{\alpha }={\left\{q\in \mathbb {Q} ^{\times }\mid \operatorname {exp} _{p}^{}{\left(q\right)}\geq \alpha (p){\text{ für alle }}p\right\}}\cup \{0\}\,$

eine Untergruppe von ${}(\mathbb {Q} ,0,+)$ ist.

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