Primzahlen/Logarithmen/Linear unabhängig/Tipp/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass

${}\sum _{i=1}^{n}q_{i}\ln p_{i}=0\,$

ist, wobei ${}p_{1},\ldots ,p_{n}$ verschiedene Primzahlen und ${}q_{1},\ldots ,q_{n}$ rationale Zahlen sind. Diese müssen wir als ${}0$ nachweisen. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass die ${}q_{i}$ ganze Zahlen sind. Wir wenden die Exponentialfunktion auf die obige Gleichung an und erhalten

${}e^{\sum _{i=1}^{n}q_{i}\ln p_{i}}=e^{q_{1}\ln p_{1}}\cdots e^{q_{n}\ln p_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{q_{i}}=e^{0}=1\,.$

Es sei ${}I\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ die Teilmenge aller ${}i$, für die der Exponent ${}q_{i}$ nichtnegativ ist. Durch Sortieren erhalten wir eine Gleichung der Form

${}\prod _{i\in I}p_{i}^{q_{i}}=\prod _{i\in {\{1,\ldots ,n\}}\setminus I}p_{i}^{-q_{i}}\,.$

Dies ist eine positive natürliche Zahl und wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung müssen alle ${}q_{i}=0$ sein.

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