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Primzahlen/Logarithmen/Linear unabhängig/Tipp/Aufgabe/Lösung

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Wir nehmen an, dass

ist, wobei verschiedene Primzahlen und rationale Zahlen sind. Diese müssen wir als nachweisen. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass die ganze Zahlen sind. Wir wenden die Exponentialfunktion auf die obige Gleichung an und erhalten

Es sei die Teilmenge aller , für die der Exponent nichtnegativ ist. Durch Sortieren erhalten wir eine Gleichung der Form

Dies ist eine positive natürliche Zahl und wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung müssen alle sein.