Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Beweis2

Beweis

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir ${}\{p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\}$ sei eine vollständige Auflistung aller Primzahlen. Man betrachtet die natürliche Zahl

${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}{\cdots }p_{r}+1\,.$

Da bei Division von ${}N$ durch ${}p_{i}$ immer der Rest ${}1$ übrigbleibt, ist diese Zahl durch keine der Primzahlen ${}p_{i}$ teilbar. Andererseits besitzt ${}N$ nach Fakt eine Primfaktorzerlegung. Insbesondere gibt es eine Primzahl ${}p$, die ${}N$ teilt (dabei könnte ${}N=p$ sein). Doch damit muss ${}p$ gleich einem der ${}p_{i}$ aus der Liste sein, und diese sind keine Teiler von ${}N$.

Zur bewiesenen Aussage