Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Fakt mit Beweisklappe

Korollar (Häufigkeit von Primzahlen)

Es ist

${}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x}}=0\,.$

Beweis

Nach der Abschätzung von Tschebyschow nach oben gilt

${}{\frac {\pi (x)}{x}}\leq C{\frac {1}{\ln(x)}}\,.$

Da der Logarithmus gegen unendlich strebt, geht der Kehrwert gegen ${}0$, was die Behauptung impliziert.

$\Box$