Produkt von Kurven/Positive Charakteristik/Geradenbündel/Produkttyp/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}H^{2}(C_{1}\times C_{2},q_{1}^{*}{\mathcal {L}}_{1}\otimes q_{2}^{*}{\mathcal {L}}_{2})=H^{1}(C_{1},{\mathcal {L}}_{1})\otimes H^{1}(C_{2},{\mathcal {L}}_{2})\,.$

Wenn ein ${}{\mathcal {L}}_{i}$ nichtnegativen Grad besitzt, so kann man die zugehörige erste Kohomologie auf ${}C_{i}$ endlich annullieren. Dies überträgt sich auf ${}H^{2}$ zunächst auf alle Klassen der Form ${}c_{1}\otimes c_{2}$ und dann auch für die gesamte Kohomologie. Bleibt der Fall, wo beide Geradenbündel negativen Grad haben, also antiampel sind. Für eine Produktklasse ${}c_{1}\otimes c_{2}$ mit Komponenten ${}c_{1},c_{2}\neq 0$ besitzt ${}F_{1}^{*}(c_{1})\otimes F_{2}^{*}(c_{2})$ keinen gemeinsamen Annullator.

Zur bewiesenen Aussage