Produktmaß/Endliche Maße/Bildmaß unter Projektion/Aufgabe

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ endliche Maßräume und ${}(M\times N,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}},\mu \otimes \nu )$ ihr Produktmaßraum. Zeige, dass das Bildmaß von ${}\mu \otimes \nu$ unter der Projektion

$M\times N\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x,$

gleich (dem umskalierten Maß) ${}\nu (N)\cdot \mu$ ist.

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