a) Wenn
leer ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei
-
surjektiv. Dann ist
![{\displaystyle {}M_{n}:=\{\varphi (0),\ldots ,\varphi (n)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc60385c864de1f219d13af449243027e98e3e5)
eine Ausschöpfung von
![{\displaystyle {}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721df7cbe87df695d471a9ee60ad739e3614e51c)
mit endlichen Mengen, die daher endliches (Zähl-)maß besitzen.
b) Das Produktmaß auf
ist dadurch gekennzeichnet, dass es auf Quadern
zu Seiten
und
mit endlichem Maß das Produkt
als Wert besitzt. Für einen Punkt
ist
und daher ist
-
![{\displaystyle {}\mu \otimes \nu (\{P\})=\mu (\{x\})\cdot \nu (\{y\})=1\cdot 1=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dda6e460b144ce03ff7f2ae380a0635d7c09d9b)
Wegen der Abzählbarkeit von
![{\displaystyle {}M\times N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a8467e90b0f2a611ffb280ca2bc8144df1bf29)
ist dadurch das Produktmaß festgelegt und gleich dem Zählmaß auf der Produktmenge.