Produktmenge/ZxZ/Addition und Subtraktion/Aufgabe/Lösung

1. Wir behaupten, dass die Abbildung injektiv ist. Seien  $(a,b),(a^{\prime },b^{\prime })\in {\mathbb{Z}}^2$  gegeben, die auf das gleiche Element abgebildet werden, also

   $(a+b,a-b)=(a^{\prime }+b^{\prime },a^{\prime }-b^{\prime }),$

   was

   $a+b=a^{\prime }+b^{\prime }$

   und

   $a-b=a^{\prime }-b^{\prime }$

   bedeutet. Durch Addition der beiden Gleichungen ergibt sich

   $2a=2a^{\prime }$

   und daraus durch Kürzen

   $a=a^{\prime }.$

   Aus der ersten Gleichung folgt dann auch

   $b=b^{\prime }.$

2. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da das Element $(1,0)$ nicht getroffen wird. Aus

   $(a+b,a-b)=(1,0)$

   folgt direkt

   $a=b$

   und daraus

   $2a=1,$

   was in $\mathbb{Z}$ nicht lösbar ist.

Zur gelösten Aufgabe