Produktraum/Endlich/Produktpräring/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann nennt man den von allen Quadern

$S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

erzeugten Präring den Produkt-Präring der ${}(M_{i},{\mathcal {P}}_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Lemma

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten Präringen.

Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.

Beweis

Die Quader ${}S_{1}\times \cdots \times S_{n}$ mit ${}S_{i}\in {{\mathcal {P}}_{i}}$ gehören zum Produkt-Präring, und damit auch endliche Vereinigungen davon. Wir müssen also zeigen, dass das angegebene Mengensystem ${}{\mathcal {H}}$ (das aus den endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern besteht) ein Präring ist.  Wir beschränken uns dabei auf den Fall von zwei Mengen ${}(M,{\mathcal {P}})$ und ${}(N,{\mathcal {R}})$, der allgemeine Fall folgt daraus durch Induktion. Die leere Menge ist als leerer Quader in ${}{\mathcal {H}}$ enthalten. Wir diskutieren zunächst die Mengenoperationen für zwei Quader ${}S_{1}\times T_{1}$ und ${}S_{2}\times T_{2}$. Der Durchschnitt davon ist gleich ${}(S_{1}\times T_{1})\cap (S_{2}\times T_{2})=(S_{1}\cap S_{2})\times (T_{1}\cap T_{2})$, also wieder ein Quader. Für die Vereinigung gilt

${}{\begin{aligned}(S_{1}\times T_{1})\cup (S_{2}\times T_{2})&=((S_{1}\setminus S_{2})\times T_{1})\uplus ((S_{1}\cap S_{2})\times (T_{1}\cup T_{2}))\uplus ((S_{2}\setminus S_{1})\times T_{2})\\\end{aligned}}$

was eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern ist. Für die Differenzmenge ist

$(S_{1}\times T_{1})\setminus (S_{2}\times T_{2})=((S_{1}\setminus S_{2})\times T_{1})\uplus ((S_{1}\cap S_{2})\times (T_{1}\setminus T_{2}))\,$

ebenfalls eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern.
Es seien nun zwei disjunkte endliche Vereinigungen von Quadern, ${}V_{1}=\biguplus _{i\in I}Q_{i}$ und ${}V_{2}=\biguplus _{j\in J}L_{j}$, gegeben. Dann ist

${}{\begin{aligned}V_{1}\setminus V_{2}&={\left(\biguplus _{i\in I}Q_{i}\right)}\setminus {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}\\&=\biguplus _{i\in I}{\left(Q_{i}\setminus {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}\right)}\\&=\biguplus _{i\in I}{\left({\left(Q_{i}\setminus L_{j_{0}}\right)}\setminus {\left(\biguplus _{j\in J,\,j\neq j_{0}}L_{j}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Nach der obigen Überlegung ist ${}Q_{i}\setminus L_{j_{0}}$ für jedes ${}i$ eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Diese kann man zu einer disjunkten Vereinigung von kleineren Quadern über eine größere Indexmenge ${}I'$ zusammenfassen. Die Behauptung folgt somit durch Induktion über die Anzahl von ${}J$. Für die Vereinigung ist

${}{\begin{aligned}V_{1}\cup V_{2}&={\left(\biguplus _{i\in I}Q_{i}\right)}\cup {\left(\biguplus _{j\in J}L_{j}\right)}\\\end{aligned}}$

eine endliche Vereinigung von Quadern. Durch Induktion über die Anzahl der Quader kann man unter Verwendung der obigen Überlegung für zwei Quader zeigen, dass man dies auch als eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern darstellen kann.

$\Box$