Produktraum/Endlich/Produktpräring/Textabschnitt

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Definition  

Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann nennt man den von allen Quadern

erzeugten Präring den Produkt-Präring der , .



Lemma  

Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen.

Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.

Beweis  

Die Quader mit gehören zum Produkt-Präring, und damit auch endliche Vereinigungen davon. Wir müssen also zeigen, dass das angegebene Mengensystem (das aus den endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern besteht) ein Präring ist.  Wir beschränken uns dabei auf den Fall von zwei Mengen und , der allgemeine Fall folgt daraus durch Induktion. Die leere Menge ist als leerer Quader in enthalten. Wir diskutieren zunächst die Mengenoperationen für zwei Quader und . Der Durchschnitt davon ist gleich , also wieder ein Quader. Für die Vereinigung gilt

was eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern ist. Für die Differenzmenge ist

ebenfalls eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern.
Es seien nun zwei disjunkte endliche Vereinigungen von Quadern, und , gegeben. Dann ist

Nach der obigen Überlegung ist für jedes eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Diese kann man zu einer disjunkten Vereinigung von kleineren Quadern über eine größere Indexmenge zusammenfassen. Die Behauptung folgt somit durch Induktion über die Anzahl von . Für die Vereinigung ist

eine endliche Vereinigung von Quadern. Durch Induktion über die Anzahl der Quader kann man unter Verwendung der obigen Überlegung für zwei Quader zeigen, dass man dies auch als eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern darstellen kann.