- Wegen
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ist nicht leer. Für zwei Elemente
und
aus ist jeweils . Daher ist stets und somit gehört
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zum Ideal. Für
-
und
-
ist jeweils und daher . Somit gehört
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zu .
- Zu einem Ideal
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setzen wir
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Hierbei steht an der -ten Stelle. Dies ist jeweils ein Ideal in : Es ist ; wenn
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ist auch
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Wenn und ist, so ist
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und somit ist
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also . Wir behaupten
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Wenn
-
ist, so ist auch
(mit der an der -ten Stelle)
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also . Also ist . Wenn umgekehrt ist, so ist , also
-
Wegen
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ist somit .
- Es seien zunächst die Hauptideale in . Für jedes Element ist dann
mit einem . Damit ist
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also ist ein Erzeuger von und es liegt ein Hauptideal vor. Wenn umgekehrt ein Hauptideal ist, so sei ein Erzeuger davon. Zu jedem gehört zu und somit gibt es ein mit
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Also ist
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und daher ist ein Erzeuger von .
- Dies folgt unmittelbar aus (3).