Produktring/Ideal/Hauptideal/Aufgabe

Es seien $R_{1}, R_{2}, \dots, R_{n}$ kommutative Ringe und sei

R = R_{1} \times R_{2} \times \dots \times R_{n}

Es seien
$I_{1} \subseteq R_{1}, I_{2} \subseteq R_{2}, \dots, I_{n} \subseteq R_{n}$

Ideale. Zeige, dass die Produktmenge

$I_{1} \times I_{2} \times \dots \times I_{n}$

ein Ideal in $R$ ist.
Zeige, dass jedes Ideal $I \subseteq R$ die Form
$I = I_{1} \times I_{2} \times \dots \times I_{n}$

mit Idealen $I_{j} \subseteq R_{j}$ besitzt.
Es sei
$I = I_{1} \times I_{2} \times \dots \times I_{n}$

ein Ideal in $R$ . Zeige, dass $I$ genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche $I_{j}$ Hauptideale sind.
Zeige, dass $R$ genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle $R_{j}$ Hauptidealringe sind.