Produktring/Idempotent/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Eng verwandt mit dem Begriff des Produktringes ist das Konzept der idempotenten Elemente.

Definition

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.

Die Elemente ${}0$ und ${}1$ sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert ${}0$ oder ${}1$ besitzen, idempotent, also beispielsweise ${}(1,0)$. In einem Integritätsbereich gibt es nur die beiden trivialen idempotenten Elemente: Ein idempotentes Element ${}e$ besitzt die Eigenschaft

${}e(1-e)=e-e^{2}=e-e=0\,.$

Im nullteilerfreien Fall folgt daraus ${}e=1$ oder ${}e=0$.

Lemma

Es sei ${}R=R_{1}\times \cdots \times R_{n}$ ein Produkt aus kommutativen Ringen.

Dann gilt für die Einheitengruppe von ${}R$ die Beziehung

${}R^{\times }=R_{1}^{\times }\times \cdots \times R_{n}^{\times }\,.$

Beweis

Dies ist klar, da ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es in jeder Komponente eine Einheit ist.

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