Produktring/Idempotent/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien $R_1,\dots ,R_n$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_1\times \cdots \times R_n,$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der $R_i$, $i=1,\dots ,n$.

Eng verwandt mit dem Begriff des Produktringes ist das Konzept der idempotenten Elemente.

Definition

Ein Element $e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn  $e^2=e$  gilt.

Die Elemente $0$ und $1$ sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert $0$ oder $1$ besitzen, idempotent, also beispielsweise $(1,0)$. In einem Integritätsbereich gibt es nur die beiden trivialen idempotenten Elemente: Ein idempotentes Element $e$ besitzt die Eigenschaft

$e(1-e)=e-e^2=e-e=0.$

Im nullteilerfreien Fall folgt daraus $e=1$ oder $e=0$.

Lemma

Es sei  $R=R_1\times \cdots \times R_n$  ein Produkt aus kommutativen Ringen.

Dann gilt für die Einheitengruppe von $R$ die Beziehung

$R^{\times }=R_1^{\times }\times \cdots \times R_n^{\times }.$

Beweis

Dies ist klar, da ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es in jeder Komponente eine Einheit ist.

$◻$