Betrachte die kurze exakte Sequenz
0
→
S
y
z
2
→
F
2
→
S
y
z
1
→
0
{\displaystyle 0\rightarrow {\rm {Syz}}_{2}\rightarrow {\mathcal {F}}_{2}\rightarrow {\rm {Syz}}_{1}\rightarrow 0}
und den Koszul-Komplex der abgeleiteten Potenzen (derived powers) dazu. In Charakteristik Null sind die abgeleiteten gleich den symmetrischen Potenzen, und der Koszul-Komplex sieht so aus:
0
→
S
q
(
S
y
z
2
)
→
S
q
(
F
2
)
→
S
q
−
1
(
F
2
)
⊗
S
y
z
1
→
S
q
−
2
(
F
2
)
⊗
⋀
2
S
y
z
1
→
…
{\displaystyle 0\rightarrow S^{q}({\rm {Syz}}_{2})\rightarrow S^{q}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q-1}({\mathcal {F}}_{2})\otimes {\rm {Syz}}_{1}\rightarrow S^{q-2}({\mathcal {F}}_{2})\otimes \bigwedge ^{2}{\rm {Syz}}_{1}\rightarrow \ldots }
Sei jetzt
U
q
:=
k
e
r
(
S
q
−
1
(
F
2
)
⊗
S
y
z
1
→
S
q
−
2
(
F
2
)
⊗
⋀
2
S
y
z
1
)
.
{\displaystyle {\mathcal {U}}_{q}:={\rm {ker}}{\big (}S^{q-1}({\mathcal {F}}_{2})\otimes {\rm {Syz}}_{1}\rightarrow S^{q-2}({\mathcal {F}}_{2})\otimes \bigwedge ^{2}{\rm {Syz}}_{1}{\big )}.}
Nun definieren wir
U
q
S
u
m
(
q
)
:=
∑
m
h
1
(
U
q
(
m
)
)
.
{\displaystyle UqSum(q):=\sum _{m}h^{1}({\mathcal {U}}_{q}(m)).}
Diese Definition ist ursprünglich aus der Idee entstanden, sich so etwas wie
∑
m
h
2
(
S
q
(
S
y
z
2
)
(
m
)
)
{\displaystyle {}\sum _{m}h^{2}(S^{q}({\rm {Syz}}_{2})(m))}
