Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Die mehrfach korrigierte symmetrische Codimension

Im Gegensatz zur einfach korrigierten SC kommen hier ${}r:={\rm {rk}}\;Syz_{2}$ viele Korrekturterme hinzu, deren erster als der Korrekturterm in der einfach korrigierten SC aufgefasst werden kann.

Sei ${}R$ ein dreidimensionaler Ring, sei ${}I=(f_{1},\ldots ,f_{n})\subseteq R$ ein Ideal und sei

${}\ldots \rightarrow {\mathcal {F}}_{3}\rightarrow {\mathcal {F}}_{2}\rightarrow {\mathcal {F}}_{1}\rightarrow {\mathcal {O}}\rightarrow 0\,$

die zugehörige freie Auflösung auf ${}{\rm {Proj}}R$. Also ${}{\mathcal {F}}_{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(-d_{i})$ mit ${}d_{i}={\rm {deg}}f_{i},$ ${}Syz_{1}=$ Bild und Kern in ${}{\mathcal {F}}_{1},$ ${}Syz_{2}=$ Bild und Kern in ${}{\mathcal {F}}_{2}.$ Man hat dann eine exakte Sequenz (Koszul-Komplex)

${}0\rightarrow \bigwedge ^{r}Syz_{2}\otimes S^{q-r}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow \bigwedge ^{r-1}Syz_{2}\otimes S^{q-r+1}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow \ldots \,$

${}\ldots \rightarrow \bigwedge ^{2}Syz_{2}\otimes S^{q-2}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow Syz_{2}\otimes S^{q-1}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q}(Syz_{1})\rightarrow 0\,$

Mit ${}{\mathcal {T}}_{q}^{(k)}$ bezeichnen wir die Kerne und Bilder im Koszul-Komplex, d.h.

${}{\mathcal {T}}_{q}^{(0)}=ker(S^{q}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q}(Syz_{1}))\,,$

${}{\mathcal {T}}_{q}^{(1)}:=ker(Syz_{2}\otimes S^{q-1}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q}({\mathcal {F}}_{2}))\,,$

${}{\mathcal {T}}_{q}^{(k)}:=ker(\bigwedge ^{k}Syz_{2}\otimes S^{q-k}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow \bigwedge ^{k-1}Syz_{2}\otimes S^{q-k+1}({\mathcal {F}}_{2}))\,$

Die einfach korrigierte symmetrische Codimension ist

${}KSC=\sum _{m}{\big (}h^{1}(S^{q}(Syz_{1})(m))-h^{1}({\mathcal {T}}_{q}^{(0)}(m)){\big )}.\,$

Wir definieren die mehrfach korrigierte symmetrische Codimension als

${}MKSC:=\sum _{m}{\big (}h^{1}(S^{q}(Syz_{1})(m))-\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}h^{1}({\mathcal {T}}_{q}^{(k)}(m)){\big )}\,$

Über einem Polynomring kann man die MKSC auch so schreiben:

${}MKSC=\sum _{m}^{m_{0}}{\big (}h^{1}(S^{q}(Syz_{1})(m))-h^{0}(S^{q}(Syz_{1})(m))+\sum _{k=0}^{r}h^{0}((\bigwedge ^{k}Syz_{2}\otimes S^{q-k}{\mathcal {F}}_{2})(m)){\big )}\,$

Mit M2 lassen sich beide Ausdrücke berechnen, der letzte etwas einfacher.