Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Fermat-Kubik/x^2,y^2,z^2

Werte der symmetrischen Hilbert-Kunz Funktion für die Fermat-Kubik ${}x^{3}+y^{3}+z^{3}=0$ für das Ideal ${}(x^{2},y^{2},z^{2})$ und ein zusätzliches Element in Charakteristik null. ${}k$ ist der Index für die symmetrische Potenz, Dim ist die Dimension des Restklassenmoduls und ${}Q(k)$ ist der Quotient der Dimension durch die entsprechende Standarddimension für ${}(x,y,0,0)$ in ${}K[x,y]$ mit vier Nachkommastellen.

Die Konvergenz ist nicht besonders schnell, dagegen ist deutlich zu sehen, dass die Dimensionen (und die Quotienten) in der ersten und zweiten Spalte sehr nah beieinander sind. Und zwar sind die Abstände zweimal ${}1$ , dann zweimal ${}2$ , zweimal ${}3$ u.s.w.

k	${}(x^{2},y^{2},z^{2},0)$		${}(x^{2},y^{2},z^{2},xyz)$		${}(x^{2},y^{2},z^{2},xy)$
	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)
1	8	8	7	7	6	6
2	42	8,4	41	8,2	36	7,2
3	129	8,6	127	8,4666	114	7,6
4	305	8,7142	303	8,6571	270	7,7142
5	615	8,7857	612	8,7428	546	7,8
6	1113	8,8333	1110	8,8095	990	7,8571
7	1862	8,8666	1858	8,8476	1656	7.8857
8	2934	8,8909	2930	8,8787	2610	7.9090
9	4410	8,9090	4405	8,8989	3924	7.9272
10	6380	8,9230	6375	8,9160	5676	7.9384
11	8943	8,9340	8937	8,9280
12	12207	8,9428	12201	8,9384
13
14
15

${}(x^{2},y^{2},z^{2})$

Die entsprechende Berechnung für dieses Ideal, wo nur die drei Erzeuger auftauchen, sieht wie folgt aus. Die Konvergenz ist dabei schneller als oben.

k	${}(x^{2},y^{2},z^{2})$
	Dim	Q(k)
1	8	8
2
3
4
5	310	8,8571
6	498	8,8928
7	749	8,9166
8	1072	8,9333
9	1476	8,9454
10	1970	8,9545
11	2563	8,9615
12	3264	8,9615
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15
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30

( x 2 , y 2 , z 2 ) {\displaystyle {}(x^{2},y^{2},z^{2})}

${}(x^{2},y^{2},z^{2})$