Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Fermat-Septik/x^4,y^4,z^4;x^3y^3

Auf der Fermat-Septik ${}x^{7}+y^{7}+z^{7}=0$ in Charakteristik null betrachten wir das Ideal ${}(x^{4},y^{4},z^{4})$ und das Element ${}x^{3}y^{3}$. Dieses Beispiel ist besonders interessant, da in positiver Charakteristik die Zugehörigkeit zum tight closure von der Primzahl abhängt (Brenner/Katzman). Der zu erwartende Limes ist hier ${}84$.

k	${}(x^{4},y^{4},z^{4},0)$		${}(x^{4},y^{4},z^{4},x^{3}y^{3})$
	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)
1	64	64	60	60
2	374	74,8	366	73,2
3	1167	77,8	1155	77
4	2783	79,5142	2769	79,1142
5	5645	80,6428	5629	80,4142
6	10257	81,4047	10239	81,2619
7	17207	81,9380	17187	81,8428
8	27167	82,3242	27146	82,2606
9	40896	82,6181	40872	82,5696
10	59232	82,8419	59205	82,8041
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Zum Vergleich in positiven Charakteristiken. Bei Charakteristik ${}p=2\mod 7$ gehört ${}x^{3}y^{3}$ nicht zum tight closure ${}(x^{4},y^{4},z^{4})$, bei ${}p=3\mod 7$ ja (Brenner/Katzman. Tight closure Berechnungen lassen vermuten, dass es genau für die Reste ${}1,3,5,6$ dazu gehört).

k	${}0$		${}2$		${}3$		${}5$		${}7$		${}11$
	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)
1			60		60		60				60
2			390		366		366				366
3			1226		1165		1155				1155
4			2959		2785		2771				2769
5			5998	85,6857	5652	80,7428	5662	80,8857			5629
6			10919	86,6587	10266	81,4761	10318	81,8888			10239	81,2619
7			18303	87,1571	17222	82,0095	17347	82,6047			17187	81,8428
8			28911	87,6090	27182	82,3696	27412	83,0666			27146	82,2606
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