Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Polynomring in drei Variablen, korrigierte symmetrische Codimension/x^2,y^2,z^2;xyz

Hier vergleichen wir die unkorrigierte und korrigierte symmetrische Codimension für das Ideal ${}I=(x^{2},y^{2},z^{2})$ und das Ideal ${}J=(x^{2},y^{2},z^{2},xyz)$ in ${}R=\mathbb {Q} [x,y,z]$.

Die minimale freie Auflösung für ${}R/I$ (auf globaler Ebene) ist

${}0\rightarrow R(-6)\rightarrow R(-4)^{3}\rightarrow R(-2)^{3}\rightarrow R\,$

Man sieht leicht ein, dass ${}{\mathcal {T}}_{q}$ frei ist und deswegen der Korrekturtern verschwindet. Daher ist die unkorrigierte SC von ${}I$ gleich der korrigierten.

Die minimale freie Auflösung für ${}R/J$ ist

${}0\rightarrow R(-5)^{3}\rightarrow R(-4)^{6}\rightarrow R(-2)^{3}\oplus R(-3)\rightarrow R\,$

Man sieht, dass die korrigierten Multiplizitäten (QKSC) von ${}I$ und ${}J$ deutlich verschieden sind. Die erwartete Multiplizität (im Limes) für ${}I$ ist 8, die erwartete Multiplizität für ${}J$ ist 7.

q	SC				KSC
	SC(I)	QSC(I)	SC(J)	QSC(J)	KSC(I)	QKSC(I)	KSC(J)	QKSC(J)
1	8	8	7	7	8	8	7	7
2	48	8	52	7,4286	48	8	49	7
3	160	8	203	7,5185	160	8	188	6,96296
4	400	8	584	7,5844	400	8	533	6,92208
5	840	8	1385	7,6098			1253	6,88462
6	1568	8	2885	7,6322			2590	6,85185
7	2688	8	5457	7,6428