Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Polynomring in drei Variablen, korrigierte symmetrische Codimension/x^2-y^2,y^2-z^2,xy,xz

Die minimale freie Auflösung ist

{}0\rightarrow R(-5)^{2}\rightarrow R(-3)^{2}\oplus R(-4)^{3}\rightarrow R(-2)^{4}\rightarrow R\rightarrow R/I\rightarrow 0,\,

d.h. der letzte Auflösungsmodul hat Rang 2.

Schreibe

{}0\rightarrow {\mathcal {F}}_{3}\rightarrow {\mathcal {F}}_{2}\rightarrow {\mathcal {F}}_{1}\rightarrow {\mathcal {O}}\rightarrow 0\,

für die garbifizierte Auflösung.

Da ${}{\mathcal {F}}_{3}$ den Rang zwei hat, ist ${}\bigwedge ^{3}{\mathcal {F}}_{3}=0.$ Aus der kurzen exakte Sequenz

{}0\rightarrow {\mathcal {F}}_{3}\rightarrow {\mathcal {F}}_{2}\rightarrow Syz_{1}\rightarrow 0\,

erhalten wir daher den Koszul-Komplex

{}0\rightarrow \bigwedge ^{2}{\mathcal {F}}_{3}\otimes S^{q-2}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow {\mathcal {F}}_{3}\otimes S^{q-1}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow S^{q}(Syz_{1})\rightarrow 0\,

Wie immer definieren wir ${}{\mathcal {T}}_{q}:=$ Kern und Bild in ${}S^{q}({\mathcal {F}}_{2})$ .

D.h. ${}{\mathcal {T}}_{q}$ passt in zwei kurze exakte Sequenzen, zunächst die "definierende",

{}0\rightarrow {\mathcal {T}}_{q}\rightarrow S^{q}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow Syz_{1}\rightarrow 0,\,

und außerdem die "spezielle", die man nur dann so hinschreiben kann, wenn ${}{\mathcal {F}}_{3}$ den Rang zwei hat:

{}0\rightarrow \bigwedge ^{2}{\mathcal {F}}_{3}\otimes S^{q-2}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow {\mathcal {F}}_{3}\otimes S^{q-1}({\mathcal {F}}_{2})\rightarrow {\mathcal {T}}_{q}\rightarrow 0\,

Die korrigierte symmetrische Multiplizität (QKSC) von I ist, so wie es aussieht, einfach die Länge von R/I, nämlich 6.