Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Polynomring in drei Variablen/Parameter

Die folgende Tabelle zeigt die Dimensionen der Restklassenmoduln der symmetrischen Potenzen für die Parameter ${}(x,y,z)$ in ${}\mathbb {Q} [x,y,z]$ und die trivialen Erweiterungen davon. Wie beim Polynomring in zwei Variablen ergeben sich die Einträge der folgenden Spalte aus der vorhergehenden durch Aufsummieren.

Für die Parameter ohne Erweiterung lautet die Dimensionsformel ${}{\frac {q(q+1)^{2}(q+2)}{12}}$.

k	${}(x,y,z)$	${}(x,y,z,0)$	${}(x,y,z,0,0)$
	Dim	Dim	Dim
1	1	1	1
2	6	7	8
3	20	27	35
4	50	77	112
5	105	182	294
6	196	378	672
7	336	714	1386
8	540	1254	2640
9	825	2079	4719
10	1210	3289
11	1716	5005
12	2366	7371
13	3185	10556
14	4200	14756
15	5440	20196
16

Parameterfall in verschiedenen Charakteristiken.

Interessanterweise hängen die Parameterwerte von der Charakteristik ab.

k	${}0$		${}2$		${}3$		${}5$		${}7$		${}11$
	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)
1	1		1		1		1		1		1
2	6		7		6		6		6		6
3	20		20		24		20		20		20
4	50		60		54		50		50		50
5	105		119		105		125		105		105
6	196		209		208		228		196		196
7	336		336		348		368		392		336
8	540		624		540		560		640		540
9	825		979		945		825		949		825
10	1210		1413		1434		1270		1334		1210
11	1716		1932		2016		1812		1816		1936
12	2366		2596		2718		2462		2422		2786
13	3185		3381		3537		3245		3185		3769
14	4200		4323		4500		4200		4368		4900
15	5440		5440		5700		5560		5740		6200
16			7616						7308		7696
17
18
19
20

Das Ideal ${}(x,y,z,0)$ in verschiedenen Charakteristiken.

]

k	${}0$		${}2$		${}3$		${}5$		${}7$		${}11$
	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)
1	1		1
2	7		8
3	27		28
4	77		88
5	182		207
6	378		416
7	714		752
8	1254		1376
9	2079		2355
10	3289		3768
11	5005		5700
12	7371		8296
13	10556		11677
14	14756		16000
15	20196		21440
16			29056