Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Polynomring in drei Variablen/x^2,y^2,z^2;xyz

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Die folgende Tabelle zeigt die Dimensionen der Restklassenmoduln der symmetrischen Potenzen für das Ideal und das Ideal in . Während wir auf einer Fermat-Kurve wegen gleiche Multiplizitäten erwarten würden, soll hier im Limes etwas Verschiedenes herauskommen!

k
Dim Q(k) Dim Q(k)
1 8 8 7 7
2 56 8 52 7,4286
3 216 8 203 7,5185
4 616 8 584 7,5844
5 1456 8 1385 7,6098
6 3024 8 2885 7,6322
7 5712 8 5457 7,6428
8 10032 8 9597 7,6531
9 16632 8 15922 7,6584
10 26312 8 25207 7,6640
11 40040 8 38374 7,6671
12 58968 8 56539 7,6704
13 84440 8 80990 7,6731
14 118048 8 113246 7,6745
15 155022 7.6759




Die Auflösung ist

Die zugehörige Garbenauflösung ist

Aus den zugehörigen kurzen exakten Sequenzen

und

ergeben sich für die k-ten symmetrischen Potenzen die (garbenexakten) Komplexe

und

wobei sich der zweite Komplex schreiben laesst als

bzw.

Die Wechselsumme der globalen Schnitte im "freien" Teil dieser Sequenz gibt eine Abschaetzung fuer die globalen Schnitte von . Man kann auch die Komplexe (2) und (1) kombinieren und die Wechselsumme aller globalen Schnitte berechnen (in allen Twists). Wechselsummen fuer k=5, m (Twist)=1..20:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 15, 55, 105, 153, 190, 210, 210, 189, 147, 84, 0, -105, -231.