Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Polynomring in drei Variablen/x^2,y^2,z^2;xyz

Die folgende Tabelle zeigt die Dimensionen der Restklassenmoduln der symmetrischen Potenzen für das Ideal ${}(x^{2},y^{2},z^{2},0)$ und das Ideal ${}(x^{2},y^{2},z^{2},xyz)$ in ${}\mathbb {Q} [x,y,z]$. Während wir auf einer Fermat-Kurve wegen ${}xyz\in (x^{2},y^{2},z^{2})^{*}$ gleiche Multiplizitäten erwarten würden, soll hier im Limes etwas Verschiedenes herauskommen!

k	${}(x^{2},y^{2},z^{2},0)$		${}(x^{2},y^{2},z^{2},xyz)$
	Dim	Q(k)	Dim	Q(k)
1	8	8	7	7
2	56	8	52	7,4286
3	216	8	203	7,5185
4	616	8	584	7,5844
5	1456	8	1385	7,6098
6	3024	8	2885	7,6322
7	5712	8	5457	7,6428
8	10032	8	9597	7,6531
9	16632	8	15922	7,6584
10	26312	8	25207	7,6640
11	40040	8	38374	7,6671
12	58968	8	56539	7,6704
13	84440	8	80990	7,6731
14	118048	8	113246	7,6745
15			155022	7.6759

Die Auflösung ist

${}0\longrightarrow R(-5)^{3}\longrightarrow R(-4)^{6}\longrightarrow R(-2)^{3}\oplus R(-3)\longrightarrow R\longrightarrow R/I\longrightarrow 0\,.$

Die zugehörige Garbenauflösung ist

${}0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-5)^{3}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4)^{6}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-2)^{3}\oplus {\mathcal {O}}(-3)\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0\,.$

Aus den zugehörigen kurzen exakten Sequenzen

${}0\longrightarrow Syz_{1}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-2)^{3}\oplus {\mathcal {O}}(-3)\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0\,$

und

${}0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-5)^{3}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4)^{6}\longrightarrow Syz_{1}\longrightarrow 0\,$

ergeben sich für die k-ten symmetrischen Potenzen die (garbenexakten) Komplexe

${}0\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow S^{k}({\mathcal {O}}(-2)^{3}\oplus {\mathcal {O}}(-3))\longrightarrow S^{k-1}({\mathcal {O}}(-2)^{3}\oplus {\mathcal {O}}(-3))\longrightarrow 0\quad (1)\,$

und

${}0\longrightarrow \bigwedge ^{3}({\mathcal {O}}(-5)^{3})\otimes S^{k-3}({\mathcal {O}}(-4)^{6})\longrightarrow \bigwedge ^{2}({\mathcal {O}}(-5)^{3})\otimes S^{k-2}({\mathcal {O}}(-4)^{6})\,$

${}\longrightarrow ({\mathcal {O}}(-5)^{3})\otimes S^{k-1}({\mathcal {O}}(-4)^{6})\longrightarrow S^{k}({\mathcal {O}}(-4)^{6})\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow 0\quad (2)\,,$

wobei sich der zweite Komplex schreiben laesst als

${}0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-15)\otimes {\big (}{\mathcal {O}}(-4k+12)^{\binom {k-8}{5}}{\big )}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-10)^{3}\otimes {\big (}{\mathcal {O}}(-4k+8)^{\binom {k-7}{5}}{\big )}\,$

${}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-5)^{3}\otimes {\big (}{\mathcal {O}}(-4k+4)^{\binom {k-6}{5}}{\big )}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4k)^{\binom {k-5}{5}}\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow 0\,$

bzw.

${}0\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4k-3)^{\binom {k-8}{5}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4k-2)^{3\cdot {\binom {k-7}{5}}}\,$

${}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4k-1)^{3\cdot {\binom {k-6}{5}}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-4k)^{\binom {k-5}{5}}\longrightarrow S^{k}(Syz_{1})\longrightarrow 0.\,$

Die Wechselsumme der globalen Schnitte im "freien" Teil dieser Sequenz gibt eine Abschaetzung fuer die globalen Schnitte von $S^{k}(Syz)$. Man kann auch die Komplexe (2) und (1) kombinieren und die Wechselsumme aller globalen Schnitte berechnen (in allen Twists). Wechselsummen fuer k=5, m (Twist)=1..20:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 15, 55, 105, 153, 190, 210, 210, 189, 147, 84, 0, -105, -231.