Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Syz2/Ansatz

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Sei

die minimale Auflösung des Ideals (auf projektiver Fläche). Der Ansatz ist, über die symmetrische Asymptotik der zweiten Kohomologie des zweiten Syzygienbündels, also von

auf die Frobenius-Asymptotik zu schließen, also auf

Der direkte Ansatz ist, dass sich beide Asymptotiken gleich verhalten. Die zugehörige symmetrische Hilbert-Kunz-Theorie ergibt sich dann, indem man aus der (vermuteten/angenommenen) -Frobenius-Asymptotik über die (virtuelle) Frobenius-Auflösung die Multiplizität berechnet. Es ist (in positiver Charakteristik)


Die sind eine direkte Summe von Summanden vom Typ , die Aufsummierung der -Terme ergibt asymptotisch

(wobei der Grad von ist). Wenn man

ansetzt, so ist die Wechselsumme nach Division durch gleich

Damit lautet die Definition für die -symmetrische Hilbert-Kunz Multiplizität

Im Fall einer endlichen projektiven Auflösung liefert das asymptotisch das Richtige.


Bei Fermat-Flächen hat man

Daher ist der Wechselsummenterm gleich

Aus der bekannten Formel für die Frobenius-Hilbert-Kunz Multiplizität ergibt sich für die -Frobenius Asymptotik der Limes

bzw. wenn man durch den Rang (also ) dividiert der Grenzwert

Dies ergibt bei

:

:

:

:


Im Parameterfall mit den Graden ergibt sich die Wechselsumme

und damit erwartet mat für den asymptotischen -Wert

Bei konstantem Grad ist das