Sei
-
die minimale Auflösung des Ideals (auf projektiver Fläche). Der Ansatz ist, über die symmetrische Asymptotik der zweiten Kohomologie des zweiten Syzygienbündels, also von
-
auf die Frobenius-Asymptotik zu schließen, also auf
-
Der direkte Ansatz ist, dass sich beide Asymptotiken gleich verhalten. Die zugehörige symmetrische Hilbert-Kunz-Theorie ergibt sich dann, indem man aus der (vermuteten/angenommenen) -Frobenius-Asymptotik über die (virtuelle) Frobenius-Auflösung die Multiplizität berechnet. Es ist
(in positiver Charakteristik)
Die sind eine direkte Summe von Summanden vom Typ , die Aufsummierung der -Terme ergibt asymptotisch
-
(wobei der Grad von ist).
Wenn man
-
ansetzt, so ist die Wechselsumme nach Division durch gleich
-
Damit lautet die Definition für die -symmetrische Hilbert-Kunz Multiplizität
-
Im Fall einer endlichen projektiven Auflösung liefert das asymptotisch das Richtige.
Bei Fermat-Flächen hat man
-
Daher ist der Wechselsummenterm gleich
-
Aus der bekannten Formel für die Frobenius-Hilbert-Kunz Multiplizität ergibt sich für die -Frobenius Asymptotik der Limes
-
bzw. wenn man durch den Rang
(also ) dividiert der Grenzwert
-
Dies ergibt bei
:
:
:
:
Im Parameterfall mit den Graden ergibt sich die Wechselsumme
-
und damit erwartet mat für den asymptotischen -Wert
-
Bei konstantem Grad ist das
-