Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Syz2/Fermat-Kubik (vier Variaben)/Maximales Ideal

Zum maximalen Ideal ${}(x,y,z,w)\subseteq \mathbb {Q} [x,y,z,w]/(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})$ werden die symmetrische Asymptotik und die Frobenius-Asymptotik des zweiten Syzygienbündels verglichen. Aus der bekannten Frobenius-Hilbert-Kunz Multiplizität kann man errechnen, dass der ${}H^{2}$-Frobenius Grenzwert rechts gleich ${}9,375$ ist.

q	${}\sum h^{2}(S^{q}(Syz_{2})(m))$		durch Rang		durch Rang ${}q^{3}$		${}\sum h^{2}(F^{e}(Syz_{2})(m))$		durch ${}4$ (Rang)		durch ${}q^{3}$
1	42		10,5		10,5		${}-$		${}-$		${}-$
2	801		80,1		10,0125		311		77,75		9,7187
3	5401		270,05		10,0018
4	22442		641,2		10,0187		2430		607,5		9,4921
5	70244		1254,3571		10,0348		4714		1178,5		9,428
6							${}-$		${}-$		${}-$
7							12898		3224,5		9,4008
8							19316		4829		9,4316
9
10							${}-$		${}-$		${}-$
11							49970		12492,5		9,3858
12							${}-$		${}-$		${}-$
13							82454		20613,5		9,3825
14							${}-$		${}-$		${}-$
15							${}-$		${}-$		${}-$
16
17
18							${}-$		${}-$		${}-$
19
20							${}-$		${}-$		${}-$

Positive Charakteristik.

In positiver Charakteristik kann man die "divided powers" ${}\Gamma ^{n}(Syz_{2})=S^{n}(Syz_{2}^{\vee })^{\vee }$ berechnen, mit derselbsn Methode (d.h. als Garbifizierung des Kerns der Abbildung ${}S^{q}(F_{2})\rightarrow S^{q-1}(F_{2})\otimes F_{1},e_{\nu }\mapsto \sum _{i,j}e_{\nu -1_{i}}\otimes Me_{i},$ wobei ${}M$ die Abbildung ${}F_{2}\rightarrow F_{1}$ in der freien Auflösung ist).

Damit kann man dann ${}\sum _{m}h^{2}(\Gamma ^{n}(Syz_{2})$ bzw. ${}\sum _{m}h^{2}(S^{n}(Syz_{2}^{\vee }(m))$ berechnen.

Man erhält ganz ähnliche Werte wie in Charakteristik Null, nämlich für ${}\mathbb {F} _{2}[x,y,z,w]/(x^{3}+\ldots +w^{3})$: 42, 802, 5401, 22443 und für ${}\mathbb {F} _{5}[x,y,z,w]/(x^{3}+\ldots +w^{3})$: 42, 801, 5401, 22442.