Projekt:Mathematik ist überall/Logik

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„Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch. Ein Drittes gibt es nicht.“

Logik wird ursprünglich als „die denkende Kunst oder Vorgehensweise“ gesehen. Es ist die Lehre „richtige“ Schlüsse zu ziehen. Die Gültigkeit der Schlüsse soll unabhängig vom konkreten Inhalt festgestellt werden. Es soll also rein formal ablaufen.

Logik im Alltag[Bearbeiten]

Also gleich der erste Versuch. Für Viele gilt

„Nichts ist besser als Pizza.“
Spinach pizza.jpg

und

Schüttelbrot.jpg
„Trockenes Brot ist besser als nichts.“

Daraus folgt aber

Schüttelbrot.jpg
„Trockenes Brot ist besser als Pizza.“
Spinach pizza.jpg

Hinsichtlich einer „kalorienarmen“ Ernährung sicherlich eine „gültige“ Folgerung, trotzdem wird sie wohl ohne Auswirkungen bleiben.

Diese Folgerung soll unabhängig vom konkreten Inhalt sein?! Da hilft nur eine Überprüfung.

Die in den Aussagen verwendete Relation lautet: „ist besser als“. Sie soll jetzt hier zur Vereinfachung mal durch das Zeichen > verkörpert werden.

Jetzt erscheint der gleiche Schluss schon weniger schlüssig

nichts > Pizza

und

trockenes Brot > nichts

also

trockenes Brot > Pizza

Das ist ein Problem der Logik, denn wird (das) „Nichts“ verwendet, so ist es nicht „Nichts“. Die alten Regeln für diese Form des Schließens werden Syllogismen genannt und sind mit „Nichts“ überfordert.

Es zeigt sich, dass Abstraktion zu gar nicht so abstrakten Aussagen führt.


Logik ein Gebiet der Mathematik?[Bearbeiten]

„Die Logik ist nicht Gegenstand der Mathematik, sondern vielmehr die „Hygiene“ dieses Fachs.“
Pierre Basieux

Nun gibt es scheinbar viele „Logiken“. In Büchern finden sich Äußerungen wie „mathematische Logik“, „sprachliche Logik“, „die Logik des Marktes“ usw. Damit sind natürlich keine „Logiken“ gemeint, sondern stets der Bezug auf das spezielle Gebiet (Mathe, Sprache, Markt). Dabei steht die Präzisierung der Aussagen im Hinblick auf die sich ergebenden Schlüsse die zentrale Rolle. Das Vokabular wird vom jeweiligen Fachgebiet bestimmt und die Logik sorgt für die nötige Präzision.


Ist Präzision logisch?[Bearbeiten]

„Mathematik ist eine exakte Wissenschaft“ wird oft behauptet. Exaktheit verlangt nach Präzision. Die Formulierungen in der Mathematik müssen sehr präzise sein, denn es dürfen sich keine falschen Schlüsse ergeben. Allerdings kann auch hier übertrieben werden, wie folgende Anekdote verdeutlicht:

FS Inside.JPG
„Auf dem Weg zu einem Kongress ergab es sich, dass in einem Zugabteil ein Soziologe, ein Physiker und ein Mathematiker zusammenkamen. Der Zug hatte gerade die Landesgrenze passiert, als der Soziologe ein schwarzes Schaf erblickte. „Sehen Sie nur meine Herren, in diesem Land sind die Schafe schwarz“. Der Physiker entgegnete daraufhin: „Herr Kollege, Ihre Feststellung ist viel zu allgemein. Aus Ihrer Beobachtung ergibt sich nur, dass es in diesem Land mindestens ein schwarzes Schaf gibt“. Zustimmung erwartend wandte er sich an den Mathematiker und fügte hinzu: "Stimmt's?" Woraufhin der Mathematiker tief Luft holend erwiederte: „Ich hätte von Ihnen etwas mehr Präzision erwartet. Die Beobachtung des Herrn Soziologen erlaubt nur den Schluss, dass es in diesem Land mindestens ein Schaf gibt, das auf mindestens einer Seite schwarz ist“.“
Hebridean ram.jpg

Der Mathematiker hat zwar recht, die Logik lässt keinen anderen Schluss zu. Aber auch Hygiene kann übertrieben werden. Zum Glück waltet auch in der Mathematik die Vernunft.

Wie kann die Logik der Mathematik zugänglich gemacht werden, wenn doch die Mathematik nach Logik verlangt? Wer kontrolliert wen?


Mengen mit Logik[Bearbeiten]

Mengen stellen in der Mathematik einen noch relativ jungen Untersuchungsgegenstand dar. Hier soll die Logik über die Mengenlehre erschlossen werden. Den Anfang macht die „Aussage“. Sie wird als Menge angesehen. Die Verneinung einer Aussage A wird als ¬A formuliert.

Dies stellt somit die neuzeitliche Version des einleitenden Aristoteles-Zitats dar.

Aristoteles legt mit seiner Feststellung die Möglichkeiten der Auswahl fest. Es handelt sich also um die „Bezugsmenge“ der Logik, an der sich alle Aussagen messen.

Mit dieser Bezugsmenge kann die „Verneinung“ einer Aussage über das Komplement ermittelt werden.

Für jede (logische) Aussage A muss nun gelten, dass ihr „Wahrheitsgehalt“ auch in der „Bezugsmenge“ M enthalten ist.

Die Elemente von M stehen mit wahr und falsch fest. Weil für Aussagen die Eigenschaft echte Teilmenge gefordert ist, können Aussagen nur entweder wahr oder falsch als Element enthalten. Einfach, nachvollziehbar, unmittelbar einleuchtend.


Verbote über Verbote[Bearbeiten]

Es bleibt aber ein gewisses Unbehagen. Irgendetwas ist hier irgendwie nicht so, wie es sein sollte – aber was? Die Bezugsmenge enthält „Alles was sein darf“ und Aussagen mit anderen Inhalten werden nicht akzeptiert. Insgesamt ist diese Interpretation von Aristoteles' Aussage eine Ansammlung von Verboten. Warum sind so viele Verbote erforderlich?

Weil Aristoteles keine Ahnung von Mengen hatte. Die Frage „Was könnte denn (unter den gegebenen Voraussetzungen) eine Aussage enthalten?“ stellte er sich nicht. Wegen der Verbote gab ja auch keinen Grund.

  • Wenn die Inhalte von Aussagen eingeschränkt sind, werden Mathematiker ungehalten.

Sie stellen zuerst die Frage nach dem was sein könnte. Dann werden keinesfalls Verbote aufgestellt, sondern Überlegungen angestellt. Wenn also die Elemente „wahr“ und „falsch“ vorhanden sind, dann bestehen für Aussagen potenziell die Möglichkeiten der Potenzmenge bereit.

Alternativen statt Verbote[Bearbeiten]

Wenn es zu viele Möglichkeiten in einem System gibt, dann sind Verbote wirklich das Letzte, woran Mathematiker denken. Sie machen das System zum Gegenstand ihrer Kritik und nicht die überflüssigen Möglichkeiten. Dem System, hier also zunächst der Bezugsmenge

gilt die Aufmerksamkeit.

Worin besteht die Aufgabe dieser Bezugsmenge?
In der Bereitstellung allerWahrheitswerte“.

Die Logik befasst sich nur mit der Wahrheit. An Falschheit ist sie überhaupt nicht interessiert. Der Begriff „falsch“ ist nur deshalb vorhanden, weil er die Verneinung einer wahren Aussage ermöglicht. Der Mathematik ist es völlig egal was unter „nicht wahr“ verstanden wird, solage es nur nicht „wahr“ ist.

Nichts als die Wahrheit[Bearbeiten]

Abgedroschen, aber hier durchaus sinnvoll. Die Logik bezieht sich nur auf die Wahrheit. Deshalb sollte auch die Bezugsmenge „nichts als die Wahrheit“ enthalten.

Und was ist dann falsch? Nichts. Der Begriff, das Wort „falsch“ ist doch nur „nicht wahr“. Eine „nicht wahre“ Aussage ist dann eben

, also die leere Menge. Und das ist bestimmt nicht { wahr }.

Nichts ist nicht wahr[Bearbeiten]

Die Verneinung einer Aussage ist die Bezugsmenge der Wahrheit ohne den „Wahrheitswert“ der Aussage. Mathematiker formulieren das kürzer. Die untenstehenden Tabellen stellt die mathematische Vorgehensweise für beide Varianten der Bezugsmengen dar.

Es sind gleich zwei Vorteile bei der einfachen Bezugsmenge vorhanden: Statt des Komplements genügt die einfache Differenzmenge und die Mächtigkeiten (Beträge) der Aussagen entsprechen den Werten 1 und 0. So ist es nicht mehr erforderlich, die Elemente der Bezugsmenge entsprechend neu zu definieren.

Mit Aristoteles' Bezugsmenge gilt:

wenn ist, dann gilt für die Negation
wenn ist, dann gilt für die Negation

Mit einfacher Bezugsmenge gilt:

wenn ist, dann gilt für die Negation
wenn ist, dann gilt für die Negation

Wahrheit berechnen[Bearbeiten]

Es ist nicht länger zu leugnen, auch die Logik ist Teil der Mathematik. Die Willkür hat ein Ende, Wahrheit ist „wertvoller“ als die Unwahrheit.

Damit ist die Konjunktion (UND-Verknüpfung) einfach mit der Multiplikation zu berechnen. Es ergeben sich . Wie es sich bei den anderen Verknüpfungen verhält, wird im Kurs „Syllogismen“ sehr detailliert behandelt.