Projekt:Mathematik ist überall/Strukturen

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Algebraische Strukturen

Mathematik beschäftigt sich nur am Rande mit reinem Rechnen. Vielmehr widmet sie sich der Lösbarkeit von Problemen an sich.

„Denken ist besser als Rechnen.“

Lautet eine oft gemachte Aussage, wenn Mathematiker auf ihre „Rechenkünste“ angesprochen werden.

So bedeutet nicht jede Verknüpfung auch eine Berechnung. Jedoch ist jede Berechnung eine (strukturelle) Verknüpfung. Damit haben Verknüpfungen Eigenschaften. Seien sie arithmetischer, geometrischer oder sonst einer Art. Mit der Untersuchung dieser Eigenschaften beschäftigt sich die allgemeine Strukturlehre.

Verknüpfungen

Was sind denn nun Verknüpfungen? Die Mathematik erlaubt doch alles Denkbare und damit auch völlig sinnlose Verknüpfungen.

Genau darum geht es! Sinnvolle Verknüpfungen sind genau diejenigen, mit denen sich die Mathematik auseinandersetzt. Deshalb gibt es bestimmte Voraussetzungen und Regeln. Ganz allgemein ist eine Verknüpfung eine Abbildung. Schon sind die Mengen wieder da, denn eine Verknüfung in der Menge M ist stets eine Abbildung von

$M\times M\rightarrow M$

Damit wird jedem Paar (x, y) ein Element z aus M zugeordnet. In der Sprache der Mathematik:

$x,y\in M\,;\ \ x\star y=z\,;\ \ z\in M$

Wenn diese Voraussetzungen gegeben sind, ist das Verknüpfungsgebilde $(M,\star )$ eine Struktur. Eine etwas weiter gefasste Definition macht nur die Verknüpfung $\star \$ für das Enthaltensein des Ergebnisses in M verantwortlich. In diesem Fall wird die Verküpfung als „abgeschlossen in M “ bezeichnet. So kann noch zwischen den Eigenschaften von Gebilde und Verknüpfung unterschieden werden.

Eigenschaften von Strukturen

Das ist schon sehr abstrakt, was die Mathematik verlangt. Aber wer nicht rechnen will, muss eben um so mehr Denken. Was könnte denn an dem Gebilde $(M,\star )$ so erwähnenswert sein, dass es der näheren Untersuchung bedarf?

Die Verknüpfung könnte Klammerterme enthalten. Dann muss geklärt werden, ob

$x\star \left(y\star z\right)=\left(x\star y\right)\star z$

gilt. Die Eigenschaft ist dann die Assoziativität. Wie wichtig diese Eigenschaft ist, kann schnell gezeigt werden. So ist das Gebilde $(\mathbb {N} ,+)$ stets assoziativ. Beispiel:

$x=3\,;\ y=4\,;\ z=5$

$3+\left(4+5\right)=\left(3+4\right)+5$

Wird statt der Addition die Subtraktion als Verknüpfung verwendet, ist das Gebilde $(\mathbb {N} ,-)$ keine Struktur mehr, denn $3-4=-1\,;\ -1\notin \mathbb {N}$. Also wird statt $\mathbb {N}$ einfach mal $\mathbb {Z}$ genommen. Nun kann das Gebilde $(\mathbb {Z} ,-)$ auf Assoziativität untersucht werden.

$x-\left(y-z\right)=\left(x-y\right)-z$

Die Gleichheit beider Seiten ist nicht vorhanden (einfach mal 3, 4, 5 einsetzen). Das Gebilde $(\mathbb {Z} ,-)$ ist nicht assoziativ. Die Eigenschaft „assoziativ“ erlaubt also, Klammern einfach wegzulassen. Daraus lassen sich dann weitere Vereinfachungen gewinnen, wie zum Beispiel die Potenzregeln für das assoziative Gebilde $(M,\star )$.

$x^{1}:=x\$

$x^{n+1}:=x^{n}\star x$

Deshalb gilt allgemein

$x^{n}=\left(\cdots \left(\left(\left(x\star x\right)\star x\right)\star x\right)\star \cdots \star x\right)=x\star x\star x\star x\star \cdots \star x$

Aber noch mehr kann aus dieser Eigenschaft gewonnen werden. Ohne auch nur im Entferntesten auf die Elemente der Menge M oder die Verknüpfung $\star \$ selbst einzugehen, kann die Gültigkeit von

$(1):\ \ x^{m}\star x^{n}=x^{m+n}\,;\ x\in M\,;\ m,n\in \mathbb {N}$

$(2):\ \ \left(x^{m}\right)^{n}=x^{mn}\,\ \ \ \ ;\ x\in M\,;\ m,n\in \mathbb {N}$

bewiesen werden. Weil die bisherigen Darstellungen rekursiv (ganz viele Klammern) erfolgten, wird der Beweis induktiv erbracht.

Beweis $(1)\$: Für $n=1\$ und beliebiges $m\in \mathbb {N} \$ gilt die Behauptung aufgrund der gegebenen Definition. Zu zeigen ist die Gültigkeit für $n+1\$.

${\begin{aligned}x^{m}\star x^{n+1}&=x^{m}\star \left(x^{n}\star x\right)\\&=\left(x^{m}\star x^{n}\right)\star x\\&=x^{m+n}\star x\\&=x^{\left(m+n\right)+1}=x^{m+\left(n+1\right)}\ \ q.e.d.\end{aligned}}$

Beweis $(2)\$: Für $n=1\$ und beliebiges $m\in \mathbb {N} \$ gilt die Behauptung aufgrund der gegebenen Definition. Zu zeigen ist die Gültigkeit für $n+1\$.

${\begin{aligned}\left(x^{m}\right)^{n+1}&=\left(x^{m}\right)^{n}\star x^{m}\\&=x^{mn}\star x^{m}\\&=x^{mn+m}=x^{m\left(n+1\right)}\ \ q.e.d.\end{aligned}}$

Strukturen und die Kenntnis ihrer Eigenschaften erlauben es offenbar, beweisbare Aussagen zu erhalten, ohne die Details (Elemente, Wesen der Verknüpfung) zu kennen. Damit hat die Mathematik ein Instrumentarium geschaffen, das es erlaubt die Eigenschaften bereits „im Vorfeld“ zu klären und die eigentliche Rechenarbeit anderen (Computern) zu überlassen.

Potenzierte Addition?

Alles schön und gut. Aber seit wann gelten die Potentgesetze für die Addition. Wenn den bisherigen Aussagen Glauben geschenkt werden darf, dann gilt für das Gebilde $\left(\mathbb {N} ,+\right)\$:

1. Es ist die Addition in der Menge der natürlichen Zahlen.
2. Es liegt eine assoziative Struktur vor.
3. Für die Addition gelten die Regeln der Potenzrechnung.

Gelernt habe ich aber, dass die Potenzbildung einer Bündelung der Multiplikation entspricht und die Multiplikation einer Bündelung der Addition. Wenn die eben gezeigte „Potenzgeschichte“ stimmt, dann wäre

$2^{3}=2+2+2=6\$.

Wie Jeder weiß ist aber

$2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8\$.

Mathematik ist (auch) eine Sprache. Leider ist diese Sprache nicht gänzlich kontextfrei. Im vorliegenden Fall liefert das Gebilde $\left(\mathbb {N} ,+\right)\$ den additiven Kontext. Die knapp gehaltene Sprache setzt (leider) die Kenntnis über die Eigenschaften der Verknüpfung voraus. Der Begriff „Potenz“ ist in deisem Zusammenhang nur als Bündelung im Sinne der wiederholten Anwendung zu verstehen. Um es ganz genau zu haben wären

$2^{3}=6\,;\ \left(\mathbb {N} ,+\right)$

$2^{3}=8\,;\ \left(\mathbb {N} ,\cdot \right)$

korrekt. Zum Glück ist meistens bekannt, ob die Verknüpfung additiv oder multiplikativ ist. Etwas schwieriger, dafür aber gewohnter, sind Strukturen mit mehreren Verknüpfungen. Dabei ist oft eine Verknüpfung additiv und die andere multiplikativ – oft, nicht immer.

Noch eine Eigenschaft

Mathemaik ist pingelig. Sie will alles immer ganz genau ge- und erklärt haben. In den bisher betrachteten Gebilden (die heißen wirklich so) $\left(M,\star \right)\$ ist zwar die Verwendung von Klammern geklärt, aber keinesfalls ob

$x\star y=y\star x\$

ist. Wenn die beiden Seiten gleich sind, dann hat die Struktur die Eigenschaft kommutativ zu sein. Jetzt können auch die Potenzgesetze erweitert werden. Denn es fehlt ja noch

$x^{n}\star y^{n}=\left(x\star y\right)^{n}\$

Auch diese Beziehung muß bewiesen werden, was aber nur mit einer assoziativen und kommutativen Struktur gelingt.

Beweis: Für $n=1\$ gilt die Behauptung aufgrund der gegebenen Definition. Zu zeigen ist die Gültigkeit für $n+1\$.

${\begin{aligned}x^{n+1}\star y^{n+1}&=\left(x^{n}\star x\right)\star \left(y^{n}\star y\right)\\&=\left(x^{n}\star y^{n}\right)\star \left(x\star y\right)\\&=\left(x\star y\right)^{n}\star \left(x\star y\right)=\left(x\star y\right)^{n+1}\ \ q.e.d.\end{aligned}}$

Jetzt ist tatsächlich klar, daß die „normale“ Rechnung mit plus und mal funktioniert. Es gilt

$x^{n}\ \,\cdot \ y^{n}=\left(x\cdot y\right)^{n}\ \ \,;\ \ \left(\mathbb {R} ,\cdot \right)$

$nx+ny=n\left(x+y\right)\,;\ \ \left(\mathbb {R} ,+\right)$

Die Potenzierung ist also wirklich die wiederholte Anwendung der Verknüpfung. Mit der Strukturlehre konnte diese Tatsache bewiesen werden, ohne näher auf die Verknüpfung oder die Elemente einzugehen. Allein die Eigenschaften der Struktur genügten für die Beweisführung.

Neutrale Elemente

Es kann sein, dass einzelne Elemente ganz besondere Eigenschaften innerhalb von Strukturen haben. Diese Elemente wirken sich dann auch auf die Eigenschaft der Struktur aus. Eine bedeutende Rolle spielen die neutralen Elemente. Ihre Bezeichnung leitet sich unmittelbar aus der Verknüpfung ab. So gilt für alle natürlichen Zahlen n :

$0+n=n\,;\ \ \left(\mathbb {N} ,+\right)\$

Die 0 (Null) ist also neutrales Element der Addition (in der gegebenen Struktur). Bei der Multiplikation zeigt ein anderes Element dieses „neutrale“ Verhalten.

$1\ \cdot \ n=n\,;\ \ \left(\mathbb {N} ,\cdot \right)\$

Für neutrale Elemente hat sich e als Bezeichner etabliert. Eigentlich könnte für jedes strukturelle Verknüpfungsgebilde $\left(M,\star \right)\$ auch

$e\star x=x\,;\ \ \left(M,\star \right)\$

formuliert werden, wenn die Struktur ein neutrales Element enthält. Vorsicht ist jedoch angebracht. Das hier verwendete neutrale Element ist nur „linksneutral“. Es ist ja keinesfalls geklärt, ob $\left(M,\star \right)\$ auch assoziativ ist. Allgemein muss es

$e_{l}\star x=x=x\star e_{r}\,;\ \ \left(M,\star \right)\$

heißen; mit $e_{l}\$ als linksneutralem und $e_{r}\$ als rechtsneutralem Element. Nur bei assoziativen Verknüpfungen gibt es höchstens ein neutrales Element $e\$.

Inverse Elemente

geht bald weiter

Spezielle Strukturen

In diesem Abschnitt geht es um hilfreiche Strukturen die einem immer wieder über den Weg laufen.

Definitionen

Halbgruppe

Eine algebraische Struktur $(H,\circ )\$ heißt Halbgruppe, falls gilt:

• $H\$ ist eine nichtleere Menge.
• $\circ \$ ist eine assoziative, innere Verknüpfung auf dieser Menge.

Gruppe

Eine algebraische Struktur $(G,\circ )\$ heißt Gruppe, falls gilt:

• $G\$ ist eine Menge.
• $\circ \$ ist eine assoziative, innere Verknüpfung auf dieser Menge.
• $G\$ enthält ein neutrales Element $e\$ bezüglich $\circ \$.

Für alle $a\in G\$ existiert ein inverses Element $a^{-1}\in G\$ bezüglich $\circ \$.

Ring

Eine algebraische Struktur $(R,\oplus ,\odot )\$ heißt Ring, falls gilt:

• $(R,\oplus )\$ ist eine abelsche Gruppe.
• $(R,\odot )\$ ist eine Halbgruppe.

Die Verknüpfung $\odot \$ ist distributiv bezüglich $\oplus \$.

Ideal J

Die algebraische Struktur $(R,\oplus ,\odot )\$ ist ein kommutativer Ring wenn:

• $(J,\oplus )\$ ist eine Untergruppe von $(R,\oplus )\$.

$JR=\{j\odot r:j\in J,r\in R\}\subseteq J\$

JR ≔ { j ⊙ r  : j ∈ J, r ∈ R } ⊆ J

Allgemeines zu Gruppen

Assoziativität: a∘(b∘c) = (a∘b)∘c

Innere Verknüpfung: a, b ∈ G ⇒ a∘b ∈ G

Jede Gruppe enthält mindestens ein Element, nämlich das neutrale Element e.

Das neutrale Element: a∘e = e∘a = a

Das inverse Element: a∘a^-1 = a^-1∘a = e

Achtung: Kommutativität gilt nicht unbedingt! Allgemein ist a∘b ≠ b∘a.

Besondere Gruppen

Kommutative bzw. abelsche Gruppen

a∘b = b∘a mit a, b ∈ G

Zyklische Gruppen

Jedes Element aus G lässt sich als „Potenz“ von einem Element a erzeugen; a∘a∘a∘...∘a, geschrieben ak, wobei r ∈ Z.

Untergruppen

U ⊆ G und (U,∘) ist eine Gruppe.

Um zu zeigen, dass ein bestimmtes Gebilde eine Untergruppe von der Gruppe G ist, genügt auch Folgendes nachzuweisen:

U ⊆ G

a, b ∈ U ⇒ a∘b ∈ U

e ∈ U

a ∈ U ⇒ a^-1 ∈ U

Achtung: Assoziativität braucht nicht gezeigt werden, da U Teilmenge von G ist.

Beispiele für Gruppen

Die Menge der ganzen Zahlen bezüglich der Addition (Z,+) ist eine zyklisch abelsche Gruppe.

Die Menge der geraden ganzen Zahlen bezüglich der Addition ist eine abelsche Gruppe.

Die Menge der invertierbaren Matrizen bezüglich der Multiplikation ist eine Gruppe.