Projekt:Mathematik ist überall/Zahlen

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Zahlen brauchen eine Grundlage, damit Werte ausgedrückt werden. Normalerweise wird das Dezimalsystem verwendet. Das Dualsystem wird von oft in Computern verwendet. Für jedes Problem scheint es eine andere Zahlenbasis zu geben. Selbst die Cantor-Menge hat mit der 3 eine eigene Basis.

Eines ist aber auffällig – Es sind immer ganze Zahlen. Allein diese Auffälligkeit verführt dazu, mal an das Gegenteil zu denken. Das Gegenteil einer ganzen Zahl ist eine gebrochene oder ein Bruch. Brüche als Basis für Zahlensysteme? Denkbar und damit mathematisch interessant.

Es mag überraschend sein, aber dieses Gebiet ist eine Gegenstand der mathematischen Forschung. Besonders angenehm ist hier, dass praktisch jeder mitmachen kann, denn die vier Grundrechenarten reichen als Instrumentarium. So können selbst Schulen im Mathematikunterricht ein Forschungsprojekt betreiben.

Zahlen sind Polynome[Bearbeiten]

Zahlen sind nicht nur Ziffernfolgen. In der Schule wird vom „Stellensystem“ gesprochen, wenn mehrstellige Zahlen behandelt werden. Später wird – mit etwas Glück – der generelle Aufbau von n-adischen Zahlensystemen besprochen.

Jede stellige Zahl kann als Polynom angesehen werden. Sehr allgemein gesagt handelt es sich um eine polynomiale Darstellung. Selbst Mathematiker scheuen davor zurück.

Sei b die Basis. Dann gilt für den Aufbau einer Zahl aus indizierten Ziffern a.

Es muss noch festgelegt werden, aus welcher Zahlenmenge die Komponenten stammen. Sonst könnte eine gebrochene Stelle unterstellt werden.

Es gilt aber noch mehr zu beachten. So gibt es gewisse Grenzen bei den Werten der Ziffern und der Basis.

Das ist ein allgemeiner Ansatz. Ob Zahlen wirklich mit diesem Ansatz ohne Widersprüche konstruiert werden können wird hier näher untersucht. Es geht nicht darum tief in die Zahlentheorie einzusteigen, sondern nur um ihre Anwesenheit im Alltag zu zeigen.

Offensichtlich sind Zahlen komplizierte Gebilde. Der Grund für diesen Aufbau ist reine Bequemlichkeit. In einer Zahl ist bereits vieles vorhanden, was sonst erst erklärt werden müsste. Im täglichen Leben ist das Dezimalsystem normal und die Sprache ersetzt die Multiplikation an jeder Stelle durch Worte wie „fünfhundert“. In anderen Zahlensystemen ist „fünfhundert“ genau so sinnlos wie die ausgesprochene hexadezimale Zahl „AFFE“ im Dezimalsystem.

Zahlen sind Bilder[Bearbeiten]

Der sehr unvorsichtig gemachte Ansatz im letzten Abschnitt kann benutzt werden, um einen Wert als Bild darzustellen. Das ist sogar der eigentliche Vorgang, den die Mathematik für die Zahlen benutzt.

Die 10 wird sehr ausführlich im Dualsystem dargestellt. Dessen Basis ist 2 und die Wandlung erfolgt entsprechend dem Ansatz.

Damit steht aber keinesfalls fest, dass ist. Die Ziffern sind nicht die a-Koeffizienten. Die darzustellenden Ziffern sind Zeichen, wie Buchstaben oder solche der Interpunktion. Die aa-Koeffizienten dienen der Auswahl dieser Zeichen. Im Dualsystem mussen zwei Zeichen zur Auswahl stehen und meistens werden 1 und 0 benutzt.

Die Mathematik verlangt nicht, gerade diese Zeichen zu benutzen. Es ist nur verlangt, eine geordnete Menge mit den gewünschten Elementen bereitzustellen. Es kann also auch „{+ ?}“ statt „{0 1}“ möglich. Damit ist dann . Die a-Koeffizienten dienen also nur zur Auswahl bestimmter Elemente. Die Elemente können auch einzelne Bilder sein und die Zahl ist dann eben eine Komposition vieler Einzelbilder zu einem Gesamtbild.

Streng mathematisch betrachtet, handelt es sich bei einer Zahl um eine Abbildung. Tatsächlich werden die a-Koeffizienten auf die Ziffern abgebildet, was einer Abbildung eines Koeffizienten entspricht. Weil jedem möglichen Koeffizienten genau eine Ziffer gegenübersteht, ist die Abbildung bijektiv. Eine Abbildung besitzt stets die „Bildmenge“ auf die abgebildet wird. Die abzubildende Menge sind Koeffizienten, die Bildmenge sind die Ziffern. So betrachtet sind Zahlen auch mathematisch Bilder.

Für eine Zahl muss die Basis b nur die eindeutige Selektion der Ziffernelemente ermöglichen. Deshalb wird oft eine ganze Zahl verwendet. Warum das nicht immer so sein muss, zeigen die folgenden Abschnitte.

Ene, mene, miste ...[Bearbeiten]

So beginnt ein Abzählreim für Kinderspiele. Er wird benutzt, um scheinbar zufällig ein Kind aus einer Gruppe (nicht die Struktur ist gemeint) auszuwählen. In der Mathematik ist diese Art des Auswählens unter der Bezeichnung Josephus-Problem bekannt. Dabei geht es prinzipiell um Zahlen mit gebrochenen Basen.

Erst einmal soll es um die Ermittlung eines Wertes aus einer Ziffernfolge gehen. Damit es einfach (wie gewohnt) bleibt, wird der Wert im Dezimalsystem angegeben. Um Zahlen mit anderen Basen von den dezimalen zu unterscheiden, wird die abweichende Basis angegeben. So sehen die Wertermittlungen aus:

Zählen[Bearbeiten]

Zählen ist die einfachste Form des Rechnens. Allerdings ändert sich das, wenn ungewohnte Basen verwendet werden. Weil 12 so viele Teiler hat, wurde früher das Dutzend verwendet. Deshalb auch „elf“ und „zwölf“ statt „einszehn“ oder „zweizehn“. Die Uhrzeit wird bis heute zur Basis 12 ermittelt.

Wie aber wird zur Basis 5 gezählt? Erst einmal wie sonst auch 1, 2, 3, 4. Jetzt ist der Vorrat an Ziffern aufgebraucht, Die nächste Zahl ist . Die nächste Stelle wird also eher notwendig. Die 7 wird im Fünfersystem als angegeben.

Jetzt zeigt sich, dass die im Ansatz aufgestellte Beschränkung für die Basis b nicht ausreicht. Zum Zählen ist mehr als eine Ziffer erforderlich, also muss für die Basis b>1 gelten.

Diese Erkenntnis scheint einfach, denn aus ihr kann ja das Dualsystem (zwei Ziffern) unmittelbar gefolgert werden. Außerdem könnte sich daraus auch ergeben, dass die Basis immer die Anzahl der zur Verfügung stehenden Ziffern (mit der Null) angibt. Aber die Mathematik fordert zum Denken auf und das bedeutet, erst einmal die im Ansatz gemachten Einschränkungen lesen. Dort ist nicht gefordert, dass b ganzzahlig ist. Damit entfällt die elementare Eigenschaft als Ordinalzahl für die Auswahl der Ziffern zu dienen.

Zählen einmal anders[Bearbeiten]

Zumindest nicht immer. Weil die Basis b nicht unbedingt eine Ordinalzahl ist, kann sie auch ein Bruch sein. Ein Versuch (gibt es auch in der Mathematik) soll zeigen, ob eine gebrochene Basis überhaupt funktioniert.

Als Basis wird verwendet, der Wert soll diesmal 38 sein. Mit dem im Ansatz aufgestellten Polynom sieht das dann so aus:

Nun müssen nur noch die a-Koeffizienten bestimmt werden.

Die Koeffizienten werden, wie bei den ganzzahligen Basen, durch Division mit Rest bestimmt. Ja, es geht auch mit Brüchen. Das Verfahren benutzt die Multiplikation mit dem Kehrwert der Basis als Division.

Die Auswahl der Ziffer erfolgt über den jeweiligen Divisionsrest und über bestimmt. Es bleibt also nur .

Jetzt einfach so lange weitermachen, bis ein n < 3 vorliegt.

Damit ist

Es ist also möglich, auch gebrochene Basen für Zahlen zu verwenden. Kann in diesem System auch gezählt werden? Ja, und es macht sogar Spaß. Am Anfang ist alles normal und die Zählung ist 1, 2, halt. Jetzt ändert sich etwas, denn die Menge der Ziffern ist erschöpft. Wäre es das 3er-System käme jetzt 10. Hier kommt aber 20, denn

Aber das Ergebnis ist doch 2. Zahlen sind Bilder! Hier ist nicht das Dezimalsystem vorhanden. Die „Gleichung“ lautet doch eigentlich

und b ist nun einmal . Die linke Seite der „Gleichung“ ist eine Ziffernfolge und stellt einen Wert nur über die Basis b bereit. Verwirrend aber spaßig. Jetzt kann einfach mit 21, 22, 210, 211 ... weitergezählt werden.

Ein neues Zuhause für die Basis[Bearbeiten]

Für die Basis b wurde angenommen, dass sie ein Element der reellen Zahlen ist. Das ist nun nicht mehr möglich. Weil Zahlen nur Bilder sind, denen wiederum bestimmte Werte zugeordnet sind, muss die Abbildung eines Koeffizienten genau ein (Ziffern)Symbol bedeuten. Genau das geht nicht mit .

Die verwendete Basis war . Es ist aber kein Unterschied zu vorhanden. Für die Basis gilt stets b=1.5. Trotzdem ist bei der zweiten Variante die eindeutige Zuordnung nicht mehr gegeben. Es ist überhaupt keine Abbildung mehr möglich, denn die Koeffizienten müssten jetzt so gewählt werden, dass 6 | (n-a) ist und nicht mehr 3 | (n-a). So sind mehr Koeffizienten möglich als nötig. Die Auswahl der Ziffernsymbole ist dadurch nicht mehr eindeutig.

Die Zahlenmenge für die Basis b muss so sein, dass sie Brüche nur in ihrer einfachsten Form enthält. Das wird nicht einfach, aber es geht.

Die Menge der rationalen Zahlen ist ja aus den genannten Gründen nicht geeignet und wird erst einmal entfernt. An ihre Stelle tritt eine Menge mit der Bezeichnung . Sie enthält alle Werte der rationalen Zahlen, aber jeweils nur ein Element. Es sind keine kürzbaren Brüche vorhanden.

Diese Menge besitzt sehr interessante Eigenschaften die in diesem für die Wikiversity aufbereitete Beitrag ausführlich beschrieben sind.

Die Zahlenmenge für die Basis b behält so ihre algebraischen und transzendenten Teilmengen. Nur die rationalen Zahlen wurden durch rationale Werte ersetzt. Eine winzige Änderung, aber notwendig.

Das optimale Zahlensystem[Bearbeiten]

Zahlen kosten, wenn sie als Informationsträger dienen. Die Information einer Zahl ist der Wert, den sie darstellt. Die Zahl setzt sich aus kleinen Elementen zusammen, die als Grundlage zur Wertfindung dienen. Die Stelligkeit ermöglicht große Werte über lange Zahlen auszudrücken.

Damit ist ein Mechanismus vorhanden, der maschinell realisiert werden kann. Eine aktuelle Version dieser Maschine ist ein Computer. Die Kosten dieser Maschine sind abhängig von den Elementen, aus denen sie konstruiert ist. Der Aufbau dieser einzelnen Elemente muss sich an der Funktion orientieren und dabei möglichst einfach sein. Funktionalität und Einfachheit widersprechen sich. Derartige Widersprüche besitzen meist ein Optimum, das mathematisch bestimmt werden kann.

Je mehr unterschiedliche Zustände ein Element annehmen kann, um so höher ist seine Funktionalität. Bei Zahlen wäre das die Basis des Zahlensystems. Diese Größe wird hier als „Wertigkeit“ bezeichnet und mit R abgekürzt.

  • Wertigkeit, R (16=hexadezimal, 10=dezimal, 8=oktal, 2=dual)

Die ganze Maschine (Computer) kann auch nur eine bestimmte Anzahl von Zuständen annehmen, denn sie ist ja aus einzelnen Elementen aufgebaut. Alle Elemente besitzen dabei die gleiche Wertigkeit R. So wie die einzelnen Ziffern von Zahlen stets der gleichen Zahlenbasis unterliegen, unabhängig von ihrer Stelle. Werden alle Elemente (n ist Elementanzahl) mit ihrer gesamten Wertigkeit verwendet, ergeben sich für die Maschine

mögliche Zustände.

Die Anzahl der Komponenten ändert sich normalerweise nicht. Damit ist N konstant. Es kann aber sein, dass die Maschine erweitert werden muss und sei es nur um einen größeren Wert (längere Zahl) zu repräsentieren. Deshalb wird die Gleichung so umgeformt, dass die Elementanzahl n nicht als Exponent vorhanden ist.

Je mehr Zustände ein Element annehmen kann, um so teurer ist es. Damit sind die Kosten eines Elements proportional zur Wertigkeit. Die Kosten des gesamten Mechanismus P (Computer) sind proportional aus dem Produkt Elementanzahl n und Elementwertigkeit R.

Das Minimum dieses Produkts ist das Minimum der Kosten und damit das Optimum. Die Elementanzahl steigt, wenn die Funktionalität (Wertigkeit) fällt. Die Anzahl ist also umgekehrt proportional zu Wertigkeit. Unter Berücksichtigung der Konstanten K ergibt sich für die Anzahl

Die Kosten können jetzt als Funktion der Wertigkeit formuliert werden.

Das Minimum wird über die ersten Ableitung nach R bestimmt.

Diese Ableitung muss zu Null gesetzt werden (Steigung im Minimum = 0). Dabei muss berücksichtigt werden, dass K und ln R nicht Null sind.

, wodurch und letztendlich

bzw.

Die optimale „Wertigkeit“ und damit die beste aller Basen ist die Eulersche Zahl e, die einen Wert von etwa 2,718 repräsentiert. Ein Ergebnis, das wirklich unerwartet ist. Zahlensysteme haben Teilbarkeit und damit Restklassen als Ausgangspunkt. Was soll unter einem transzendenten Modul zu verstehen sein? Gibt es sowas überhaupt? Nein, das gibt es (noch) nicht, aber hier wurde gezeigt, dass daran gedacht werden sollte.

Primäre Zahlen?[Bearbeiten]

Wenn es primäre Zahlen gibt, dann muss es auch nicht primäre geben. Damit ergibt sich die stark vereinfachte Frage: „Sind primäre Zahlen die Ursache für sekundäre Zahlen?“.

Nicht ganz, aber fast. Hier ist von Primzahlen die Rede.

Die herausragendste Eigenschaft der Primzahlen ist, dass sie nur durch 1 und sich selbst ganzzahlig teilbar sind. Diese Festlegung ist mathematisch nicht ohne Probleme. Damit könnte auch die 1 als Primzahl gelten. Wie so oft hilft die Mengenlehre.

Eine Zahl ist genau dann prim, wenn ihre Teilermenge die Mächtigkeit zwei hat.

Primzahlen haben also genau zwei Teiler. Alle anderen Zahlen haben mehr Elemente in ihren Teilermengen. Die Eigenschaft dieser Zahlen ist, dass sie immer aus Primzahlen zusammenmultipliziert werden können. Deshalb könnten diese Nichtprimzahlen als sekundäre Zahlen angesehen werden. Ausnahmen sind, wie könnte es anders sein, mit 0 und 1 gegeben.

Teilermengen[Bearbeiten]

Die 12 hat viele Teiler. Sie soll als Beispiel dienen Teilermengen darzustellen. Es gibt mehr als eine Möglichkeit. Zuerst die gängige.

In der Teilermenge sind nur wenige Primzahlen vorhanden. Sie ist also wenig aussagekräftig für sekundäre Eigenschaft. Eine andere Darstellung der Elemente wählte Georg Cantor. Sie zeigt alle Primfaktoren.

Außerdem kann jede Teilermenge einheitlich formuliert werden. So gilt für jede natürliche Zahl die Schreibweise:

Die Primzahlen p werden als geordnet (aufsteigend, entsprechend ihrem Wert) angesehen. Die kleinste ist damit auch die erste. Es werden stets alle Primzahlen in der Teilermenge als vorhanden angesehen. Die Schreibweise drückt das durch die "usw"-Punkte aus. Die Exponenten sind natürlich von der Zahl z abhängig. Ist eine Primzahl nicht auch Primfaktor der Zahl z, so ist der Exponent 0 (Null). Damit kann auch die 1 ausgedrückt werden.

Summen die minimieren[Bearbeiten]

Einfache Fragen haben oft einfache Antworten. So wissen Viele, dass bei der Addition zweier teilerfremden Zahlen gilt:

Bereits mit den Erkenntnissen von Diophant kann diese Tatsache nachvollzogen werden. Interessanter sind da schon die Teilermengen. In ihnen geschieht bei der Addition Interessantes.

Seien A und B zwei natürliche Zahlen. Die Exponenten ihrer Primteiler werden mit a für die Zahl A und b für die Zahl B bezeichnet. Dann sind die Teilermengen:

Für die Teilermenge der Summe C=A+B ergibt sich dann mit Sicherheit die Teilmenge:

Was ist mit der ersten Primzahl? Sie ist eine Ausnahme; nicht nur weil sie die erste ist, sondern weil sie gerade ist. Die Bildung des minimalen Exponenten funktioniert fast immer. Jedoch gibt es schon bei 2+6 Probleme. Die anderen Primzahlen, die in beiden Teilermengen der Summanden vorhanden sind, kommen in der Summe nur mit dem jeweils kleinsten Exponenten vor. Eine Erkenntnis, die auch über die Bestimmung von ggT (größter gemeinsamer Teiler) und kgV (kleinstem gemeinsamen Vielfachen) gefunden werden kann.

Das Interessante ist, dass die als so elementar angesehene Addition unmittelbare Auswirkungen auf die Exponenten hat. Es scheint doch mehr hinter der Addition zu stecken, als das bloße Zusammenzählen.

Primzahlen mit Schlagseite[Bearbeiten]

Zu Primzahlen gibt es viel zu sagen – zuviel. Primzahlen sind ein sicherer Weg, in die Annalen einzugehen, wenn ...

Wenn die hier beschriebene Vermutung bestätgt oder widerlegt wird. Besonders angenehm; an die Übersetzung der Veröffentlichung braucht kein Gedanke verschwendet werden.

Hier soll nur auf eine oft vernachlässigte Besonderheit der Primzahlen eingegangen werden. Die folgenden Listen

links: 5, 11, 17, 23, 29, 47, 53, ...
rechts: 7, 13, 19, 31, 37, 41, 43, ...

enthalten Primzahlen. Was sollen aber die Zusätze links und rechts bedeuten? Sie geben tatsächlich eine Neigung der Zahl an, was eben die Schlagseite meint. Diese Schlagseite haben alle Primzahlen >3. Wenn noch keine Assoziation mit links und rechts aufkommen will, ein weiterer Hinweis:

  • Der erste Schritt (zur Erklärung) besteht in der Multiplikation der beiden nicht aufgeführten Primzahlen .

Richtig, das Ergebnis ist 6. Letzter Hinweis:

  • Die Nachbarn der aufgeführten Primzahlen haben etwas mit den beiden ersten Primzahlen gemein.

Genau, es geht um Teilbarkeit.

  • Eigenschaft 6 | (p+1) bedeutet p steht links.
  • Eigenschaft 6 | (p-1) bedeutet p steht rechts.

Nicht alltäglich? Doch. Es geht um die Summation von Stammbrüchen, die bereits im alten Ägypten eine zentrale Rolle spielte. Viele berühmte Mathematiker haben sich mit dieser Problematik beschäftigt. Bereits Leonardo Fibonacci setzte sich in seiner 1202 veröffentlichten Liber abbaci damit auseinander. Erst 1880 gelang dem mathematiker James Joseph Sylvester ein allgemeiner Beweis.

Wer immer noch die Annalen im Sinn hat, kann sich mit dem Wissen um links- und rechtslastige Primzahlen jahrelange Arbeit sparen. Viele Probleme verdankt die Mathematik keinem Geringeren als Paul Erdős. Eines ist die auch nach ihm benannte Erdös-Strauss-Vermutung. Die Bestätigung oder Widerlegung dieser Vermutung hängt unmittelbar an einer der beiden Primzahllisten. Interessant sind also nur noch die Brüche mit den Kongruenzen

und die p sind eben in einer der beiden Listen vorhanden.

Forschen[Bearbeiten]

Wie in der Einleitung erwähnt, bieten die Zahlenbasen durchaus die Möglichkeit, eigene Forschung zu betreiben. Ein paar Anregungen für Untersuchungen sollen hier gegeben werden.

Im letzten Abschnitt wurde die optimale (kostengünstgste) Zahlenbasis hergeleitet. Die Eulersche Zahl e mit ihrem Wert von etwa 2,718 liegt der ganzzahligen Basis 3 recht nah. Nun ist e transzendent und dadurch irgendwie auffällig. Eine weitere Zahl, ebenfalls mit der Eigenschaft der Transzendenz ausgestattet, liegt aber noch näher an 3: nämlich die Kreiszahl (gesprochen: Pi), mit einem Wert von etwa 3,1416. Hierbei gilt:

Vielleicht hält 3 eine besondere Position zwischen diesen transzendenten Grenzen?

Wo anfangen?[Bearbeiten]

Ein paar Vorschläge (deren Erweiterung durchaus erwünscht ist):

  • Bei der Basis muss es sich nicht um einfache Brüche handeln, es können auch Kettenbrüche sein. Summen von Kettenbrüchen sind sehr interessant.
  • Ergeben sich Besonderheiten, wenn die goldene Zahl (goldener Schnitt) als Basis benutzt wird. Hier wäre ein Kettenbruch unumgänglich.
  • Ganzzahlige Verhältnisse irrationaler Zahlen können über Teilung des Umkreises eines Quadrats erreicht werden. In acht gleiche Abschnitte geteilt, ergeben sich und in den Betrachtungen.
  • Wenn schon Kreise, dann vielleicht gleich die Ebene? Wie wäre es mit der schönsten Formel der Mathematik? Hier sind gleich beide transzendenten Zahlen vorhanden.

Es ist ein weites Feld und es gibt viel zu entdecken.