Projektion weg von Punkt/Ebene/Charakterisitk p/Beispiel/Generischer Grad/Aufgabe/Lösung

Eine projektive Gerade durch den Punkt ${}(1,0,0)$ hat die Form ${}V_{+}(\alpha Y+\beta Z)$, die Punkte darauf sind die Urbilder des Punktes ${}(\beta ,-\alpha )\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ unter der Projektion. Den Durchschnitt einer solchen Geraden mit der Kurve (und damit die Urbildpunkte) berechnet man, indem man in

$V_{+}(Z^{p-1}Y+X^{p})$

${}Y$ bzw. ${}Z$ eliminiert. Bei ${}\beta =0$ muss man ${}Y=0$ setzen und erhält die einzige Lösung ${}(0,0,1)$. Bei ${}\beta \neq 0$ kann man ${}Z=\gamma Y$ einsetzen und erhält eine Gleichung der Form

${}\gamma ^{p-1}Y^{p}+X^{p}=0\,.$

Da ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, besitzt ${}\gamma ^{p-1}$ eine ${}p$-te Wurzel, sagen wir

${}\gamma ^{p-1}=\delta ^{p}\,.$

Dann ist

${}\gamma ^{p-1}Y^{p}+X^{p}={\left(\delta Y+X\right)}^{p}\,.$

Die einzige Lösung der Gleichung ist

$(-\delta ,1,\gamma ).$

Zur gelösten Aufgabe