Projektion weg von Punkt/Ebene/Fermat-Quadrik/Aufgabe/Lösung

Die Urbildgerade zum Punkt ${}(3,5)$ wird durch die homogene Gleichung ${}5Y-3Z$ beschrieben. Es geht also um den Durchschnitt

V_{+}(X^{2}+Y^{2}+Z^{2})\cap V_{+}(5Y-3Z).

Dies führt auf die homogene Bedingung

{}{\begin{aligned}0&=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\\&=X^{2}+Y^{2}+{\left({\frac {5}{3}}\right)}^{2}Y^{2}\\&=X^{2}+{\left({\frac {34}{9}}\right)}^{2}Y^{2}.\end{aligned}}

Somit ist

{}X=\pm {\frac {\sqrt {34}}{3}}{\mathrm {i} }Y\,,

wobei ${}{\mathrm {i} }$ eine Quadratwurzel von ${}-1$ sei, und die beiden Lösungen sind

\left({\frac {\sqrt {34}}{3}}{\mathrm {i} },\,1,\,{\frac {5}{3}}\right)\,\,{\text{  und }}\,\,\left(-{\frac {\sqrt {34}}{3}}{\mathrm {i} },\,1,\,{\frac {5}{3}}\right).