Projektive Gerade/C/Meromorphe Funktion/Rational/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion ${}\neq 0$ auf ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ und sei ${}D$ der zugehörige Hauptdivisor zu ${}f$. Nach Fakt ist sein Grad gleich ${}0$ und nach dem Beweis zu Fakt gibt es eine rationale Funktion ${}g$, die ebenfalls diesen Divisor als Hauptdivisor besitzt. Also ist ${}{\frac {f}{g}}$ eine meromorphe Funktion, die weder Pol- noch Nullstellen besitzt und insbesondere nach Fakt überall definiert ist, also holomorph. Nach Fakt ist sie konstant und somit ist ${}f=cg$ mit ${}c\in {\mathbb {C} }$.

Zur bewiesenen Aussage