Projektive Gerade/C/Rationale Differentialform/Hauptteilverteilung/Gesamtresiduum/1/Aufgabe/Lösung

1. In den Punkten aus ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0,1\}$ liegt eine holomorphe Differentialform vor. Mit einer Partialbruchzerlegung ist

   ${}{\frac {z+1}{z(z-1)}}={\frac {-1}{z}}+{\frac {2}{z-1}}\,$

   und somit

   ${}{\frac {z+1}{z(z-1)}}dz={\frac {-1}{z}}dz+{\frac {2}{z-1}}dz\,.$

   Im unendliche fernen Punkt ${}\infty$ ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {z+1}{z(z-1)}}dz&={\frac {w^{-1}+1}{w^{-1}(w^{-1}-1)}}dw^{-1}\\&=-{\frac {w^{-1}+1}{w^{-1}(w^{-1}-1)}}\cdot {\frac {1}{w^{2}}}dw\\&={\frac {1+w}{w(w-1)}}dw.\end{aligned}}$

   Wegen

   ${}{\frac {1+w}{w(w-1)}}={\frac {-1}{w}}+{\frac {2}{w-1}}\,$

   ist der Hauptteil im unendlich fernen Punkt gleich ${}{\frac {-1}{w}}dw$.

2. Das Residuum in ${}0$ ist ${}-1$, das Residuum in ${}1$ ist ${}2$ und das Residuum in ${}\infty$ ist ${}-1$ und in jedem anderen Punkt ist das Residuum gleich ${}0$.
3. Die Summe der Residuen ist ${}-1+2-1=0$.

Zur gelösten Aufgabe