Projektive Gerade/Hauptteilverteilung/Meromorphe Funktion/2/Aufgabe/Lösung

Wir bringen die Hauptteile mit Hilfe der Partialbruchzerlegung auf eine Form, woraus die Realisierung als rationale Funktion ablesbar ist. Für den Punkt ${}1$ machen wir den Ansatz

${}{\frac {3}{z(z-1)^{2}}}={\frac {a}{z}}+{\frac {b(z-1)+c}{(z-1)^{2}}}\,$

bzw.

${}3=a(z-1)^{2}+{\left(b(z-1)+c\right)}z\,.$

Mit  ${}z=0$  ergibt sich  ${}a=3$  und mit  ${}z=1$  ergibt sich  ${}c=3$.  Betrachten von ${}z^{2}$ ergibt  ${}b=-3$.  Da der erste Summand ${}{\frac {a}{z}}$ in ${}1$ holomorph ist, kann man den vorgegebenen Hauptteil als

${}{\frac {-3(z-1)+3}{(z-1)^{2}}}=-3{\frac {1}{z-1}}+3{\frac {1}{(z-1)^{2}}}\,$

schreiben. Diese rationale Funktion realisiert den ersten Hauptteil.

Für den Punkt ${}4$ machen wir den Ansatz

${}-{\frac {1}{z(z-4)}}={\frac {r}{z}}+{\frac {s}{(z-4)}}\,$

bzw.

${}-1=r(z-4)+sz\,.$

Es folgt  ${}r={\frac {1}{4}}$  und  ${}s=-r=-{\frac {1}{4}}$. 

Also ist ${}-{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{(z-4)}}$ ebenfalls ein repräsentierender Hauptteil. Die Summe dieser rationalen Funktionen realisiert insgesamt die Hauptteilverteilung.

Zur gelösten Aufgabe