Projektive Gerade/Q/Höhe/Schranke/Beispiel

In ${}{\mathbb {P} }_{}^{1}(\mathbb {Q} )$ besitzen die Punkte ${}(1,0),(0,1),(1,1),(1,-1)$ die Höhe ${}1$. Wir beschränken uns nun auf Punkte der Form ${}(x,1)$ mit

${}x=\pm p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{n}^{\alpha _{n}}=\pm {\frac {p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}{p_{k+1}^{-\alpha _{k+1}}\cdots p_{n}^{-\alpha _{n}}}}\,$

und ${}\alpha _{i}\in \mathbb {Z}$ (${}n\geq 1$, die Exponenten seien bis zum ${}k$-ten Term positiv, danach negativ). Ein solcher Punkt hat die Höhe

${}{\begin{aligned}H_{\mathbb {Q} }(P)&=\max\{\vert {x}\vert ,\,1\}\cdot \max\{p_{1}^{-\alpha _{1}},\,1\}\cdots \max\{p_{n}^{-\alpha _{n}},\,1\}\\&=\max\{\vert {x}\vert ,\,1\}\cdot p_{k+1}^{-\alpha _{k+1}}\cdots p_{n}^{-\alpha _{n}},\end{aligned}}$

wobei alle Faktoren ${}\geq 1$ sind. Das hintere Produkt ist einfach der Nenner der rationalen Zahl ${}x$, die Höhe ist nach Aufgabe eine natürliche Zahl. Bestimmen wir die Punkte ${}(x,1)$, deren Höhe gleich ${}2$ ist. Ihre ${}x$-Koordinate ist ${}\pm 2$ oder ${}\pm {\frac {1}{2}}$. Die Punkte der Höhe ${}3$ haben die ${}x$-Koordinate ${}\pm 3,\pm {\frac {1}{3}},\pm {\frac {2}{3}},\pm {\frac {3}{2}}$. Die Punkte der Höhe ${}4$ haben die ${}x$-Koordinate ${}\pm 4,\pm {\frac {1}{4}},\pm {\frac {3}{4}},\pm {\frac {4}{3}}$. Die Punkte der Höhe ${}5$ haben die ${}x$-Koordinate ${}\pm 5,\pm {\frac {1}{5}},\pm {\frac {2}{5}},\pm {\frac {3}{5}},\pm {\frac {4}{5}},\pm {\frac {5}{2}},\pm {\frac {5}{3}},\pm {\frac {5}{4}}$, etc.