Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Definition

Höhe (rationaler Punkt)

Es sei ${}K$ ein Zahlkörper und sei ${}P\in {\mathbb {P} }_{K}^{m}$ ein ${}K$-Punkt mit den homogenen Koordinaten ${}P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)$. Dann versteht man unter der Höhe (über ${}K$) von ${}P$ die reelle Zahl

${}H_{K}(P):=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{v}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{v}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{v}}\}=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\Vert {x_{0}}\Vert _{v},\Vert {x_{1}}\Vert _{v},\ldots ,\Vert {x_{m}}\Vert _{v}\}\,.$