Projektive Gerade/Rationale Funktion/Hauptteilverteilung/Beispiel

Wir betrachten die rationale Funktion ${}f(z)={\frac {z^{2}}{(z+1)(z-1)^{2}}}$ als meromorphe Funktion auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ und wollen ihre Hauptteilverteilung bestimmen. Außer in den Punkten ${}-1,1,\infty$ hat die Hauptteilverteilung den Wert ${}0$.

Sei ${}z=-1$. Wir schreiben die Funktion mit dem lokalen Parameter ${}u=z+1$ als

${}f(u)={\frac {(u-1)^{2}}{u(u-2)^{2}}}={\frac {1}{u}}\cdot {\frac {u^{2}-2u+1}{(u-2)^{2}}}\,,$

wobei der rechte Faktor holomorph in diesem Punkt ist. Insbesondere ist die Polstellenordnung gleich ${}1$ und es kommt nur noch auf den skalaren Faktor an, der sich durch Einsetzen ${}u=0$ zu ${}{\frac {1}{4}}$ berechnet. Der Hauptteil in diesem Punkt ist also ${}{\frac {1}{4}}u^{-1}$.

Sei ${}z=1$. Wir schreiben die Funktion mit dem lokalen Parameter ${}v=z-1$ als

${}f(v)={\frac {1}{v^{2}}}\cdot {\frac {(v+1)^{2}}{v+2}}={\frac {1}{v^{2}}}\cdot {\frac {v^{2}+2v+1}{v+2}}={\frac {1}{v^{2}}}\cdot {\left(v+{\frac {1}{v+2}}\right)}\,,$

wobei der rechte Faktor holomorph in diesem Punkt ist. Insbesondere ist die Polstellenordnung gleich ${}2$ und wir müssen den rechten Faktor als Potenzreihe bis zur Ordnung ${}1$ entwickeln. Dabei ergibt sich

${}{\frac {1}{v+2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}v+\ldots \,$

und somit ist der Hauptteil in diesem Punkt gleich ${}{\frac {1}{2}}v^{-2}-{\frac {1}{4}}v^{-1}$.

Im unendlich fernen Punkt muss man mit ${}w=z^{-1}$ arbeiten, die Funktion besitzt dort die Beschreibung

${}f(w)={\frac {w^{-2}}{(w^{-1}+1)(w^{-1}-1)^{2}}}={\frac {w}{(1+w)(1-w)^{2}}}\,.$

Dies ist holomorph für ${}w=0$ und daher ist der Hauptteil in diesem Punkt gleich ${}0$.